List of issues > Series «Mathematics». 2010. Vol. 2
Analysis of the stationary solutions for initial boundary value problem of nonlocal parabolic equation of plasma physics
The methods of nonlinear functional analysis, we study the properties stationary solutions of initial-boundary value problem for nonlinear nonlocal second order parabolic equation with implicit degeneration. This equation arises in the mathematical simulation of diffusion limited plasma across the magnetic field and its equilibrium configurations in the installation type tokamak. Problem of stabilization of nonstationary solutions to stationary reduced to study of the solvability of nonlinear boundary value problem with nonlocal (integral) operators. Sufficient conditions parameters studied integrodifferential boundary value problem ensure the existence and uniqueness of its classical solutions, for which structurally built area of attraction.
1. Carrillo, J.A. On a non-local elliptic equation with decreasing nonlinearity arisingin plasma physics and heat conduction / J.A Carrilo // Nonliear analysys TMA. -1998. - V. 32. - P. 97–115.
2. Ferone, A. A topological approach for generalized nonlocal models for a confinerplasma in a tokamak / A. Ferone, M. Jalal, J.Rakotoson, R. Volpicelli // Comm.Appl. Anal. - 2001. - V. 5, N 2. – P. 159–181.
3. Hyman, J. Analysis of nonlinear parabolic equations modelling plasma diffusionacross a magnetic field / J. Hyman, P. Rosenau // Lectures in Applied Mathematics.- 1986. - V. 23. - P. 219–245.
4. Rosenau, P. Plasma diffusion across a magnetic field / P. Rosenau, J. Hyman //Phys. D. - 1986. - V. 20. - P. 444–446.
5. Rosenau, P. Long time asymptotic of a system for plasma diffusion / P. Rosenau,E. Turkel // TTSP. - 1987. - V. 16, N 2–3. - P. 377–391.
6. Kwong, Y. Interior and boundary regularity of solutions to a plasma type equation/ Y. Kwong // Proc. Amer. Math. Soc. - 1988. - V. 104, N 2. - P. 472–478.
7. Bertsch M., A system of degenerate parabolic equations from plasma physics: thelarge time behavior / M. Bertsch. S. Kamin // SIAM J. Math. Anal. - 2000. -V. 31, N 4. - P. 776–790.
8. Калашников, А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вы-рождающихся параболических уравнений второго порядка / А.С. Калашников// УМН. - 1987. - Т. 42, N 2. - С. 135–176.
9. Олейник, О.А. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестацио-нарной фильтрации / О.А. Олейник, А.С. Калашников, Чжоу-Юй-Линь.// Изв.АН СССР. Сер. Мат. - 1958. - Т. 22, N 5. - С. 667–704.
10. Сабинина, Е.С. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболическихуравнений / Е.С. Сабинина // Докл. АН СССР. - 1962. - Т. 143, N 4. - С. 794–797.
11. Галактионов, В.А. Квазилинейное уравнение теплопроводности: обострение,локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры / В.А. Га-лактионов, В.А. Дородницын, Г.Г. Еленин, С.П. Курдюмов, А.А. Самарский// Соврем. пробл. матем. Новейшие достижения. Итоги науки и техники. М.:ВИНИТИ АН СССР. - 1987. Т. 28. - С. 95 -205.
12. Самарский, А.А. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных пара-болических уравнений / А.А. Самарский, В.А. Галактионов, С.П. Курдюмов,А.П. Михайлов. - М.: Наука, - 1987.
13. Aronson, D.G. Regularity of flows in porous media: a survey / D.G. Aronson //Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States: Springer - 1988. -V. 1, N. V. - P. 35–49.
14. De Mottoni, P. Attractivity properties of nonnegative solutions for a class ofnonlinear degenerate parabolic problems / P. De Mottoni, A. Schiaffino, A. Tesei //Ann. Math. Pura Appl. - 1984. - V. 136. - P. 35–48.
15. Aronson, D.G. Stabilization of solutions of a degenerate nonlinear diffusion problem/ D.G. Aronson, M.G. Crandall, L.A. Peletier// Nonlinear Anal., TMA. - 1982. -V. 6, N 10. - P. 1001–1022.
16. Filo, J. On solutions of a perturbed fast diffusion equation / J. Filo // Aplikacematematicy. - 1987. - V. 32, N 5. - P. 364–380.
17. Aronson, D.G. Large time behavior of solutions of the porous medium equation inbounded domains / D.G. Aronson, L.A. Peletier // J. Differ. Equat. - 1981. -V. 39, N 3. - P. 378–412.
18. Bertsch, M. Asymptotic behavior of solutions of a nonlinear diffusion equation / M.Bertsch // SIAM J. Appl. Math. - 1982. - V. 42, N 1. - P. 66–76.
19. Белоносов, В.С. Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболи-ческих уравнений / В.С. Белоносов, Т.И. Зеленяк. - Новосибирск: НГУ, -1975.
20. Зеленяк, Т.И. О качественных свойствах решений квазилинейных смешанныхзадач для уравнений параболического типа / Т.И. Зеленяк // Матем. сборник.- 1977. - Т. 104, N 3. - С. 486–510.
21. Шестаков, А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распреде-ленными параметрами / А.А. Шестаков. - М.: Наука. - 1990.
22. Красносельский, М.А. Положительные решения операторных уравнений / М.А.Красносельский. - М.: Физматгиз, - 1962.
23. Красносельский, М.А. Приближенное решение операторных уравнений / М.А.Красносельский, Г.М. Вайнико, П.П. Забрейко, Я.Б. Рутицкий, В.Я. Стеценко.- М.: Наука, - 1969.
24. Guo, D. Nonlinear problems in abstract cones / D. Guo, V. Lakshmikantham. -London: Academic Press. - 1988.
25. Похожаев, С.И. Об уравнениях вида ?u = f(x, u,Du) / С.И. Похожаев //Матем. сборник. - 1980. - Т. 113, N 2. - С. 324–338.
26. Похожаев, С.И. Об эллиптических задачах в Rn с суперкритическим показа-телем нелинейности / С.И. Похожаев // Матем. сборник. 1991. Т. 182, N 4.С. 467–489.
27. Митидиери, Э. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравненийи неравенств в частных производных / Э. Митидиери, С.И. Похожаев. - М.:Наука, 2001. - (Тр. МИАН, Т. 234).
28. Митидиери, Э. Лиувиллевы теоремы для некоторых нелинейных нелокальныхзадач / Э. Митидиери, С.И. Похожаев // Докл. РАН. - 2004. - Т. 399, N 6. -C. 732–736.
29. Bandle, C. A priori estimates and the boundary value of solutions for a problemarising in plasma physics / C. Bandle // Nonl. Anal. TMA. - 1983. - V. 7, N 4.- P. 439–451.
30. Rakotoson, J. Un mod?ele non local en physique des plasmas: r?esolution par unem?ethode de degr?e topologique / J. Rakotoson // Acta Appl. Math. - 1985. - V. 4,N 1. - P. 1–14.
31. Хатсон, В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В.Хатсон, Дж. Пим. - М.: Мир, - 1983.
32. Куфнер А., Нелинейные дифференциальные уравнения / А. Куфнер, С. Фучик.- М.: Наука, - 1988.
33. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными про-изводными второго порядка / Д. Гилбарг, Н.Трудингер. - М.: Наука, -1989.
34. Крылов, Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям впространствах Г?ельдера / Н.В. Крылов. - Новосибирск.: Научная книга, -1998.
35. Guo, D. Coupled fixed points of nonlinear operator with applications / D. Guo, V.Lakshmikantham //Nonlinear Anal., TMA. - 1987. - V. 11, N 5. - P. 623–632.
36. Днестровский,Ю.Н. Математическое моделирование плазмы /Ю.Н. Днестров-ский, Д.П. Костамаров. - М.: Наука, - 1982.
37. Хоган, Дж.Т. Многокомпонентные модели переноса в токамаке // Вычисли-тельные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез / Дж.Т. Хоган.- М.: Мир, - 1980. - С. 142–177.
38. Маслов, В.П. Об интегальном R уравнении u(x) = F(x) + / В.П. Маслов // Функц. анализ и егоприложения. - 1994. - Т. 28, N 1. - C. 41–50.
39. Похожаев, С.И. Об уравнениях Маслова / С.И. Похожаев // Дифференц.уравнения. - 1995. - Т. 31, N 2. - C. 338-349.
40. Wei, J. On a nonlinear eigenvalue problem / J. Wei, L. Zhang // Ann. Sc. norm.super Pisa. Cl. sci. - 2001. - V. 30, N 1. - P. 41–61.
41. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. -М.: Наука, - 1981.