Рассматривается линейная стационарная система дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ), которая может быть записана в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с необратимыми матрицами коэффициентов. Важнейшей характеристикой ДАУ является индекс неразрешенности, отражающий сложность внутренней структуры системы. Исследуется вопрос об асимптотической устойчивости ДАУ, содержащих неопределенность, задаваемую посредством матричной нормы. Рассматривается возмущение в случае структурированной неопределенности. Предполагается, что исходная номинальная система является асимптотически устойчивой. Для проведения анализа исходное уравнение преобразуется к структурной форме, в которой разделены дифференциальная и алгебраическая подсистемы. Эта форма эквивалентна исходной системе в смысле совпадения множеств решений, а оператор, преобразующий исходную систему к структурной форме, обратим. Построение не использует замену переменных. Необходимым и достаточным условием существования структурной формы является регулярность матричного пучка исходного уравнения. Получены достаточные условия того, что возмущения не нарушают внутреннюю структуру номинальной системы. В условиях сохранения структуры исследуется вопрос об асимптотической устойчивости ДАУ со структурированной неопределенностью. Получены оценки радиуса устойчивости возмущенной системы. Изложение ведется от более простого случая, при котором возмущение присутствует только при неизвестной вектор-функции, к более сложному, при котором возмущение также присутствует при производной от искомой вектор-функции. Перед изложением результатов кратко упомянуты вспомогательные сведения. При получении результатов использовались значения для вещественного и комплексного радиусов устойчивости для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Для иллюстрации полученных результатов рассмотрен пример.

Об авторах

Кононов Алексей Денисович, аспирант, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Российская Федерация, 664033, e-mail: my_official@rambler.ru

MSC

34A09, 34D20, 37C75

DOI

https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.23.20

1. Бобылев Н. А. Оценки возмущений устойчивых матриц / Н. А. Бобылев, С. В. Емельянов, С. К. Коровин // Автоматика и телемеханика. – 1998. – № 4. – C. 15–24.

2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Наука, 1988. – 576 с.

3. Крыжко И. Б. Оценки возмущений матричных спектров / И. Б. Крыжко // Дальневост. мат. журн. – 2000. – № 1. – С. 111–118.

4. Молчанов А. П. Достаточные условия робастной устойчивости линейных нестационарных систем управления с периодическими интервальными ограничениями / А. П. Молчанов, М. В. Морозов // Автоматика и телемеханика. – 1997. – № 1. – C. 100–107.

5. Молчанов А. П. Робастная абсолютная устойчивость нестационарных дискретных систем управления с периодическими ограничениями / А. П. Молчанов, М. В. Морозов // Автоматика и телемеханика. – 1995. – № 10. – C. 93–100.

6. Морозов М. В. Условия робастной устойчивости линейных нестационарных систем управления с интервальными ограничениями / М. В. Морозов // Проблемы управления. – 2009. – № 3. – С. 23–26.

7. Поляк Б. Т. Робастная устойчивость и управление / Б. Т. Поляк, П. С. Щербаков. – М. : Наука, 2002 – 273 c.

8. Щеглова А. А. О робастной устойчивости систем дифференциально-алгебраических уравнений / А. А. Щеглова, А. Д. Кононов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2016. – Т. 16. – С. 117–130.

9. Щеглова А. А. Робастная устойчивость дифференциально-алгебраических уравнений произвольно высокого индекса / А. А. Щеглова, А. Д. Кононов // Автоматика и телемеханика. – 2017. – № 5. – C. 36–55. https://doi.org/10.1134/S0005117917050034

10. Щеглова А. А. Существование решения начальной задачи для вырожденной линейной гибридной системы с переменными коэффициентами / А. А. Щеглова // Изв. вузов. Математика. – 2010. – № 9. – С. 57–70. https://doi.org/10.3103/S1066369X10090057

11. Byers R. On the stability radius of a generalized state-space system / R. Byers, N. K. Nichols // Lin. Alg. Appl. – 1993. – Vol. 188–189. – P. 113–134. https://doi.org/10.1016/0024–3795(93)90466–2

12. Davison E. J. The stability robustness of generalized eigenvalues / E. J. Davison, L. Qiu // Decision and Control. Proc. of the 28th IEEE Conf. – 1989. – Vol. 3. – P. 1902–1907.

13. Du N. H. On data-dependence of exponential stability and stability radii for linear time-varying differential-algebraic systems / N. H. Du, V. H. Linh, C.-J. Chyan // Journal of Differential Equations. – 2008. – Vol. 245. – P. 2078–2102.

14. Du N. H. Robust stability of differential-algebraic equations / N. H. Du, V. H. Linh, V. Mehrmann // Differential-Algebraic Equations Forum I. – Springer. – 2015. – P. 63–95.

15. Stability and Robust Stability of Linear Time-Invariant Delay Differential-Algebraic Equations / N. H. Du, V. H. Linh, V. Mehrmann, D. D. Thuan // SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. – 2013. – Vol. 34. – P. 1631–1654. https://doi.org/10.1137/130926110

16. Du N. H. Stability radii of differential-algebraice quations with structured perturbations / N. H. Du // Systems Control Letters. – 2008. – Vol. 60. – P. 596–603.

17. Du N. H. Stability radius of implicit dynamic equations with constant coefficients on time scales / N. H. Du, N. C. Liem, D. D. Thuan // Systems Control Letters. – 2011. – Vol. 60. – P. 596–603. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2011.04.018

18. Du N. H. Stability radii for linear time-varying differential-algebraic equations with respect to dynamic perturbations / N. H. Du, V. H. Linh //Journal of Differential Equations. – 2006. – Vol. 230. – P. 579–599.

19. Hinrichsen D. An algorithm for the computation of the structured complex stability radius / D. Hinrichsen, B. Kelb, A. Linnemann // Automatica. – 1989. – Vol. 25. – P. 771–775. https://doi.org/10.1016/0005–1098(89)90034–4

20. Hinrichsen D. Robust stability of positive continuous time systems / D. Hinrichsen, N. K. Son // Numer. Funct. Anal. Optim. – 1996. – Vol. 17. – P. 649–659. https://doi.org/10.1080/01630569608816716

21. Linh V. H. Spectrum-Based Robust Stability Analysis of Linear Delay Differential–Algebraic Equations / V. H. Linh, D. D. Thuan // Numerical algebra, matrix theory, differential–algebraic equations and control theory: Festschrift in honor of Volker Mehrmann. – Springer. – 2015. – P. 533–557. https://doi.org/10.1007/978–3–319–15260–8_19