рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2023. Том 43

Задача об оптимальном расположении включений для композитных тел с отдельными и соединенными жесткими включениями

Автор(ы)
Н. П. Лазарев1, Г. М. Семенова1

1Северо-Восточный федеральный университет, Якутск, Российская Федерация

Аннотация
Исследуются нелинейные математические модели, описывающие состояние равновесия композитных тел, которые могут контактировать с неподвижным недеформируемым препятствием. Предполагается, что композитные тела состоят из упругой матрицы и одного или двух встроенных объемных жестких включений, эти включения имеют прямоугольную форму, при этом одно из них может изменять свое расположение вдоль прямой линии. Рассматривая параметр расположения как параметр управления, сформулирована задача оптимального управления с функционалом качества, заданным произвольным непрерывным функционалом на пространстве решений. В предположении, что параметр расположения изменяется на заданном замкнутом интервале, доказывается разрешимость задачи оптимального управления. Кроме того, установлено, что задачу о равновесии композитного тела с двумя соединенными включениями можно рассматривать как предельную задачу для семейства задач о равновесии тел с двумя отдельными включениями.
Об авторах

Лазарев Нюргун Петрович, д-р физ.-мат. наук, Северо-Восточный федеральный университет, Российская Федерация, 677000, г. Якутск, nyurgun@ngs.ru

Семенова Галина Михайловна, канд. пед. наук, доц., Северо-Восточный федеральный университет, Российская Федерация, 677000, г. Якутск, sgm.08@yandex.ru

Ссылка для цитирования
Lazarev N. P., Semenova G. M. Optimal Location Problem for Composite Bodies with Separate and Joined Rigid Inclusions // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2023. Т. 43. C. 19–30. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.43.19
Ключевые слова
задача оптимального управления, композитное тело, условия Синьорини, жесткое включение, расположение.
УДК
517.97
MSC
49J40, 49J20
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.43.19
Литература
  1. Andersson L.-E., Klarbring A. A review of the theory of elastic and quasistatic contact problems in elasticity. Phil. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A, 2001, vol. 359, pp. 2519–2539. https://doi.org/10.1098/rsta.2001.0908
  2. Bermúdez A., Saguez C. Optimal control of a Signorini problem. SIAM J. Control Optim., 1987, vol. 25, pp. 576–582. https://doi.org/10.1137/0325032
  3. Duvaut G., Lions J.-L. Inequalities in Mechanics and Physics. Berlin, Springer, 1976, 416 p.
  4. Furtsev A., Itou H., Rudoy E. Modeling of bonded elastic structures by a variational method: Theoretical analysis and numerical simulation. Int. J. of Solids Struct., 2020, vol. 182-183, pp. 100–111. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2019.08.006
  5. Hintermüller M., Kopacka I. Mathematical programs with complementarity constraints in function space: C-and strong stationarity and a path-following algorithm. SIAM J. Control Optim., 2009, vol. 20, no. 2, pp. 868–902. https://doi.org/10.1137/080720681
  6. Hintermüller M., Laurain A. Optimal shape design subject to elliptic variational inequalities. SIAM J. Control Optim., 2011, vol. 49, no. 3. pp. 1015–1047. https://doi.org/10.1137/080745134
  7. Hlavaˇcek I., Haslinger J., Neˇcas J., Loviˇsek J. Solution of Variational Inequalities in Mechanics. New York, Springer-Verlag, 1988, 285 p.
  8. Kazarinov N.A., Rudoy E.M., Slesarenko V.Y., Shcherbakov V.V. Mathematical and numerical simulation of equilibrium of an elastic body reinforced by a thin elastic inclusion. Comput. Math. Math. Phys., 2018, vol. 58, no. 5, pp. 761–774. https://doi.org/10.1134/S0965542518050111
  9. Khludnev A. Non-coercive problems for Kirchhoff–Love plates with thin rigid inclusion. Z. Angew. Math. und Phys., 2022, vol 73, no. 2, pp. 54. https://doi.org/10.1007/s00033-022-01693-0
  10. Khludnev A. Shape control of thin rigid inclusions and cracks in elastic bodies.Arch. Appl. Mech., 2013, vol. 83, pp. 1493–1509. https://doi.org/10.1007/s00419-013-0759-0
  11. Khludnev A., Kovtunenko V. Analysis of Cracks in Solids. Southampton, WITPress, 2000, 386 p.
  12. Khludnev A., Negri M. Optimal rigid inclusion shapes in elastic bodies with cracks. Z. Angew. Math. und Phys., 2013, vol. 64, pp. 179–191. https://doi.org/10.1007/s00033-012-0220-1
  13. Khludnev A.M., Novotny A.A., Soko lowski J., Zochowski A. Shape and topology sensitivity analysis for cracks in elastic bodies on boundaries of rigid inclusions. J. Mech. Phys. Solids., 2009, vol. 57, pp. 1718–1732. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2009.07.003
  14. Khludnev A., Popova T. Equilibrium problem for elastic body with delaminated T-shape inclusion. J. Comput. Appl. Math., 2020, vol. 376, pp. 112870. https://doi.org/10.1016/j.cam.2020.112870
  15. Kikuchi N., Oden J.T. Contact Problems in Elasticity: Study of Variational Inequalities and Finite Element Methods. Philadelphia, SIAM, 1988, 508 p.
  16. Kovtunenko V., Leugering G. A shape-topological control problem for nonlinear crack-defect interaction: The antiplane variational model. SIAM J. Control Optim., 2016, vol. 54, no. 3, pp. 1329–1351. https://doi.org/10.1137/151003209
  17. Lazarev N. Optimal control of the thickness of a rigid inclusion in equilibrium problems for inhomogeneous two-dimensional bodies with a crack. Z. Angew. Math. Mech., 2016. vol. 96. no. 4. pp. 509–518. https://doi.org/10.1002/zamm.201500128
  18. Lazarev N., Kovtunenko V. Signorini-type problems over non-convex sets for composite bodies contacting by sharp edges of rigid inclusions. Mathematics, 2002, vol.10, no. 2, pp. 250. https://doi.org/10.3390/math10020250
  19. Lazarev N., Rudoy E. Optimal location of a finite set of rigid inclusions in contact problems for inhomogeneous two-dimensional bodies. J. Comput. Appl. Math., 2022, vol. 403, no. 10, pp. 113710. https://doi.org/10.1016/j.cam.2021.113710
  20. Leugering G., Soko lowski J., Zochowski A. Control of crack propagation by shapetopological optimization. Discret. Contin. Dyn. S - Series A., 2015, vol. 35, no. 6, pp. 2625–2657. https://doi.org/10.3934/dcds.2015.35.2625
  21. Namm R.V., Tsoy G.I. Solution of a contact elasticity problem with a rigid inclusion. Comput. Math. and Math. Phys., 2019, vol. 59, pp. 659–666. https://doi.org/10.1134/S0965542519040134
  22. Novotny A., Soko lowski J. Topological Derivatives in Shape Optimization, Series: Interaction of Mechanics and Mathematics. Berlin, Springer-Verlag, 2013, 336 p.
  23. Rademacher A., Rosin K. Adaptive optimal control of Signorini’s problem. Comput. Optim. Appl., 2018, vol. 70, pp. 531–569. https://doi.org/10.1007/s10589-018-9982-5
  24. Rudoy E. Shape derivative of the energy functional in a problem for a thin rigid inclusion in an elastic body. Z. Angew. Math. Phys., 2015, vol. 66, pp. 1923–1937. https://doi.org/10.1007/s00033-014-0471-0
  25. Rudoy E. First-order and second-order sensitivity analyses for a body with a thin rigid inclusion. Math. Methods Appl. Sci., 2016, vol. 39, pp. 4994–5006. https://doi.org/10.1002/mma.3332
  26. Rudoy E. On numerical solving a rigid inclusions problem in 2D elasticity. Z. Angew. Math. Phys., 2017, vol. 68, p. 19. https://doi.org/10.1007/s00033-016-0764-6
  27. Shcherbakov V. Shape optimization of rigid inclusions for elastic plates with cracks. Z. Angew. Math. Phys., 2016, vol. 67, p. 71. https://doi.org/10.1007/s00033-016-0666-7
  28. Wachsmuth G. Strong stationarity for optimal control of the obstacle problem with control constraints. SIAM J. Control Optim., 2014, vol. 24, no.3, pp. 1914–1932. https://doi.org/10.1137/130925827

Полная версия (english)