рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2022. Том 41

Позиционный принцип минимума: вариационное усиление понятий экстремальности в оптимальном управлении

Автор(ы)
В. А. Дыхта1

1Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Иркутск, Российская Федерация

Аннотация
Известные принципы максимума типа Понтрягина и соответствующие им условия экстремальности (Кларка, Кашкоч – Лоясиевича, Суссмана и др.) усиливаются до необходимых условий глобальной оптимальности в форме позиционного принципа минимума для классических и негладких задач оптимального управления без терминальных ограничений. Формулировки позиционного принципа минимума (или соответствующего ему условия экстремальности) не выходят за рамки конструкций принципов максимума (функция Понтрягина или гамильтониан, сопряженная система или включение, их решения, т. е. котраектории), но собственно условие максимума функции Понтрягина или гамильтониана усиливается до вариационного: оптимальная траектория рассматриваемой задачи необходимо является минималью в некоторой присоединенной задаче динамической оптимизации. Эта задача ставится на множестве всех пучков конструктивных движений Красовского – Субботина, порожденных экстремальными стратегиями относительно суперрешения уравнения Гамильтона – Якоби, определенного явно через котраекторию исследуемого процесса и целевую функцию, задающую терминальный функционал. В более общем варианте позиционный принцип минимума использует обобщенные решения проксимального неравенства Гамильтона – Якоби для слабо убывающих (𝑢-стабильных) функций.
Об авторах
Дыхта Владимир Александрович, д-р физ.-мат. наук, проф., Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664046, г. Иркутск, dykhta@gmail.com
Ссылка для цитирования
Дыхта В. А. Позиционный принцип минимума: вариационное усиление понятий экстремальности в оптимальном управлении // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 41. C. 19–39. https://doi.org/10.26516/1997-7670. 2022.41.19
Ключевые слова
экстремали, позиционное управление, слабо убывающие функции
УДК
517.977.5
MSC
49K15, 49L99, 49N35
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.41.19
Литература
  1. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси : Изд-во Тбилис. ун-та, 1977.
  2. Гамкрелидзе Р. В. Математические работы Л. С. Понтрягина // Труды международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина. Москва, 31 авг. – 6 сент. 1998 г. Т. 1. Оптимальное управление, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. математика и ее приложения. Темат. обз. M. : ВИНИТИ, 1998. Т. 60. P. 5–23.
  3. Дыхта В. А. Слабо монотонные решения неравенства Гамильтона – Якоби и условия оптимальности с позиционными управлениями // Автоматика и телемеханика. 2014. № 5. С. 31–49.
  4. Дыхта В. А. Нестандартная двойственность и нелокальные необходимые условия оптимальности в невыпуклых задачах оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 2014. № 11. С. 19–37.
  5. Дыхта В. А. Вариационные необходимые условия оптимальности с позиционными управлениями спуска в задачах оптимального управления // Доклады Академии наук. 2015. Т. 462, № 6. С. 653–656.
  6. Дыхта В. А. Вариационные условия оптимальности с позиционными управлениями спуска, усиливающие принцип максимума // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2014. Т. 8. С. 86–103.
  7. Дыхта В. А. Позиционные усиления принципа максимума и достаточные условия оптимальности // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 2. С. 73–86.
  8. Дыхта В. А., Самсонюк О. Н. Неравенства Гамильтона – Якоби и вариационные условия оптимальности. Иркутск : Изд-во ИГУ, 2015. 150 с.
  9. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М. : Наука, 1988. 280 с.
  10. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М. : Физматлит, 1974. 456 с.
  11. Милютин А. А. Выпуклозначные липшицевы дифференциальные включения и принцип максимума Понтрягина // Итоги науки и техники. Серия: Современная математика и ее приложения. 1999. Т. 65. С. 175–187.
  12. Мордухович Б. Ш. Оптимальное управление разностными, дифференциальными и дифференциально-разностными включениями // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Темат. обз. 1999. Т. 61. С. 33–65.
  13. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М. : Физматлит, 1961. 391 с.
  14. Artstein Z. Pontryagin maximum principle revisited with feedbacks // Eur. J. Control. 2011. Vol. 17, N 1. P. 46–54. https://doi.org/10.3166/ejc.17.46-54
  15. Clarke F. H., Ledyaev Yu. S., Stern R. J., Wolenski P. R. Qualitative properties of trajectories of control systems: A survey // J. Dynamical and Control Syst. 1995. Vol. 1, N 1. P. 1–48. https://doi.org/10.1007/BF02254655
  16. Dykhta V. A. On variational necessary optimality conditions with descent feedback controls strengthening Maximum principle // Differential Equations and Optimal Control. Materials of the International Conference dedicated to the centenary of the birth of Academician Evgenii Frolovich Mishchenko. Moscow, June 7–9, 2022. Steklov Mathematical Institute RAS, 2022. P. 38–42.
  17. Frankowska H., Ka´skosz B. Linearization and boundary trajectories of nonsmooth control systems // Can. J. Math. 1988. Vol. 11, N 3. P. 589–609. https://doi.org/10.4153/CJM-1988-025-7
  18. Ka´skosz B. Extremality, controllability, and abundant subsets of generalized control systems // J. Optim. Theory Appl. 1999. Vol. 101, N 1. P. 73–108. https://doi.org/10.1023/A:1021719027140
  19. Ka´skosz B., Lojasiewicz S. A maximum principle for generalized control // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Appl. 1985. Vol. 9, N 2. P. 109–130. https://doi.org/10.1016/0362-546X(85)90067-7
  20. Loewen P. D., Vinter R. B. Pontryagin-type necessary conditions for differential inclusion problems // Systems & Control Lett. 1997. Vol. 9, N 9. P. 263–265. https://doi.org/10.1016/0167-6911(87)90049-1
  21. Sussmann H. A strong version of the Lojasiewicz maximum principle // Optimal Control of Differential Equations / ed. N. H. Pavel. N. Y. : M. Dekker Ink., 1994. P. 1–17 (Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics). https://doi.org/10.1201/9781003072225
  22. Vinter R. B. Optimal Control. Boston : Birkh¨auser, 2010. 500 p.https://doi.org/10.1007/978-0-8176-8086-2

Полная версия (русская)