Данная работа посвящена изучению автоморфизмов конечных магм и представлению симметрической группы перестановок S_k и ее некоторых подгрупп группами автоморфизмов конечных магм. Теория, изучающая группы автоморфизмов магм, хорошо разработана и представлена множеством работ, когда магма является квазигруппой, полугруппой, петлей, моноидом или группой. Также встречаются исследования, в которых рассматриваются вопросы, связанные с изучением автоморфизмов магм, не являющихся полугруппой или квазигруппой.

В статье вводятся некоторые конечные магмы 𝕾 = (V, ∗) порядка k + k². Для магмы 𝕾  удалось описать группу автоморфизмов и записать общий вид автоморфизма. Кроме того, выявилась связь между автоморфизмами магм 𝕾  и перестановками конечного множества из k элементов. Все автоморфизмы магмы 𝕾  параметризованы перестановками из некоторой подгруппы (дается описание этой подгруппы) симметрической группы перестановок S_k.

Кроме того, установлено, что группа S_k изоморфна группе всех автоморфизмов Aut (𝕾 ) подходящей магмы 𝕾  порядка k + k².

Литаврин Андрей Викторович, канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, e-mail: anm11@rambler.ru

Литаврин А. В. Автоморфизмы некоторых магм порядка k + k² // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2018. Т. 26. С. 47-61. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.47

1. Биркгоф Г. О группах автоморфизмов // Revista de la Union Math. Argentina. 1946. № 4. С. 155–157.
2. Бунина Е. И. Автоморфизмы полугруппы обратимых матриц с неотрицательными элементами над коммутативными частично упорядоченными кольцами // Фундам. и прикл. математика. 2008. Т. 14, № 2. С. 69–100. https://doi.org/10.1007/s10958-009-9650-5
3. Глускин Л. M. Автоморфизмы мультипликативных полугрупп матричных алгебр // Успехи мат. наук. 1956. Т. 11, № 1. С. 199–206.
4. Глускин Л. М. Автоморфизмы полугрупп бинарных отношений // Мат. записки Урал. гос. ун-та. 1967. Т. 6. С. 44-54.
5. Ильиных А. П. Классификация конечных группоидов с  2 транзитивной группой автоморфизмов // Мат. сб. 1994. Т. 185, № 6. С. 51–78. https://doi.org/10.1070/SM1995v082n01ABEH003557
6. Ильиных А. П. Группоиды порядка q(q±1)/2, q=2^r, имеющие группу автоморфизмов, изоморфную SL(2,q) // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 6. С. 1336–1341. https://doi.org/10.1007/BF02106838
7. Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 2. С. 141-161; № 3. С. 316–338.
8. Левчук В. М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами. Ч. 2. Группы автоморфизмов // Сиб. мат. журн. 1983. Т. 24, № 4. С. 543–557.
9. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М. : Наука, 1970.
10. Мерзляков Ю. И. Автоморфизмы классических групп. М. : Мир, 1976.
11. Михалeв А. В. Автоморфизмы и антиавтоморфизмы, полугруппы обратимых матриц с неотрицательными элементами // Мат. сб. 1970. Т. 81(123), № 4. С. 600–609.
12. Петечук В. М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами // Мат. сб. 1982. Т. 117, № 4. С. 534–547.
13. Плоткин Б. И. Группы автоморфизмов алгебраических систем. М. : Наука, 1966.
14. Халезов Е. А. Автоморфизмы матричных полугрупп // Докл. АН СССР. 1954. Т. 96, № 2. С. 245–248.
15. Халезов Е. А. Автоморфизмы примитивных квазигрупп // Мат. сб. 1961. Т. 61, № 3. С. 329–342.
16. Шматков В. Д. Изоморфизмы и автоморфизмы алгебр матриц над решетками // Фундам. и прикл. математика. 2014. Т. 19, № 1. С. 195–204. https://doi.org/10.1007/s10958-015-2614-z
17. Abe E. Automorphisms of Chevalley groups over commutative rings // Algebra and Analysis. 1993. Vol. 5, N 2. P. 74–90.
18. Bunina E. I. Automorphisms of Chevalley groups of different types over commutative rings // J. Algebra. 2012. Vol. 355, N 1. P. 154–170. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2012.01.002
19. Gibbs J. Automorphisms of certain unipotent groups // J. Algebra. 1970. Vol. 14, N 2. P. 203–228.
20. Groot J. Automorphism groups of rings // Int. Congr. of Mathematicians. Edinburgh, 1958. P. 18.
21. Hahn A. J. Homomorphisms of algebraic and classical groups: a survay // Can. Math. Soc. 1984. N 4. P. 249–296.
22. Schreier O. Die Automorphismen der projektiven Gruppen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1928. Vol. 6. P. 303–322.
23. Seligman G.B. On automorphisms of Lie algebras of classical type // Trans. Amer. Math. Part III. 1960. Vol. 97. P. 286–316.