Рассматривается один класс систем линейных неавтономных дифференциальных уравнений нейтрального типа с распределенным запаздыванием. Матрица перед производной неизвестной вектор-функции с запаздыванием постоянна, матрица перед неизвестной вектор-функцией имеет непрерывные T-периодические элементы, ядро интегрального оператора состоит из непрерывных функций, T-периодических по аргументу t. Цель работы заключается в исследовании асимптотической устойчивости нулевого решения с использованием метода модифицированных функционалов Ляпунова – Красовского. Метод функционалов Ляпунова – Красовского является развитием второго метода Ляпунова. Достоинством этого метода является простота формулировок и сведение исследования асимптотической устойчивости к решению хорошо обусловленных задач. Кроме того, метод модифицированных функционалов Ляпунова – Красовского позволяет получить оценки на решения линейных систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Заметим, что использование модифицированных функционалов Ляпунова – Красовского также позволяет получить оценки решений нелинейных дифференциальных уравнений и оценки на множество притяжения. Ранее система периодических дифференциальных уравнений нейтрального типа рассматривалась в работах Г. В. Демиденко и И. И. Матвеевой, в которых были получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения и указаны оценки решений этой системы. Система линейных периодических дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием рассматривалось автором статьи. Для этой системы также были получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения и указаны оценки решений. В настоящей работе получены достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы нейтрального типа с распределенным запаздыванием в терминах матричных неравенств и установлены оценки решений системы, характеризующие экспоненциальное убывание на бесконечности.

1. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь : Изд-во Перм. ун-та, 2001. 230 с.

2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М. : Мир, 1967. 548 с.

3. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Об оценках решений систем дифференциальных уравнений нейтрального типа с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 5. С. 1059–1077.

4. Колмановский В. В., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М. : Наука, 1981. 448 с.

5. Красовский H. H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М. : Физматгиз, 1959. 212 с.

6. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.-Л. : Гостехиздат, 1951. 256 с.

7. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М. : Мир, 1984. 424 с.

8. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М. : Наука, 1971. 296 с.

9. Demidenko G. V. Stability of solutions to linear differential equations of neutral type // J. Anal. Appl. 2009. Vol. 7, N 3. P. 119–130.

10. Hayes N. D. Roots of the Transcendental Equation Associated with a Certain Difference-Differential Equation // J. London Math. Soc. 1950. Vol. 25. P. 226–232. https://doi.org/10.1112/jlms/s1-25.3.226

11. Yskak T. K. Sufficient conditions for the asymptotic stability of solutions to one class of linear systems of neutral type with periodic coefficients // Динамические системы. 2015. Т. 5(33), № 3–4. С. 177–191.

12. Yskak T. Stability of solutions to systems of differential equations with distributed delay // Funct. Differ. Equ. 2018. Vol. 24, N 1–2. P. 97–108.