В статье изучается задача Коши для линейного интегро-дифференциального операторного уравнения с интегральной частью Вольтерра типа свертки и фредгольмовым оператором при старшей производной. Получены достаточные условия существования и единственности классического (сильно непрерывно дифференцируемого N раз) решения, а также явные формулы для его восстановления. Эти результаты применены к исследованию начально-краевой задачи математической теории вязкоупругости.

1. Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений /М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. – М.: Наука, 1969. – 528 с.

2. Сидоров, Н. А. О применении некоторых результатов теории ветвления прирешении дифференциальных уравнений с вырождением / Н. А. Сидоров,О. А. Романова // Дифференц. уравнения. – 1983. – Т. 19, №9. – С. 1516-1526.

3. Фалалеев М. В. Теория фундаментальных оператор-функций вырожденныхинтегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах: дис. ...докт. физ.-мат. наук / М. В. Фалалеев. – Иркутск, 2008. – 238 с.

4. Cavalcanti, M. M. Existence and Uniform Decay for a Non-Linear ViscoelasticEquation with Strong Damping / M. M. Cavalcanti, V. N. Domingos Cavalcanti,J. Ferreira // Math. Meth. Appl. Sci. – 2001. – Vol. 24. – P. 1043–1053.

5. Sidorov, N. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications /N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. – Dordrecht: Kluwer Acad.Publ., 2002. – 548 p.