В статье рассматривается начально-краевая задача специального вида для нелинейного уравнения теплопроводности в пространстве R3 в случае степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. В англоязычной литературе это уравнение обычно именуется "the porous medium equation". Помимо описания процессов распространения тепла, нелинейное уравнение теплопроводности используется при математическом моделировании фильтрации политропного газа в пористом грунте, движения крови в мелких кровеносных сосудах, процессов распространения выбросов отрицательной плавучести в экологии, процессов роста и миграции биологических популяций и ряда других. В рассматриваемой начальнокраевой задаче предполагается, что искомая функция обращается в нуль в начальный момент времени и режим нагрева задан на некоторой замкнутой достаточно гладкой поверхности. При этом выполнен переход в сферическую систему координат. Для указанной задачи в классе аналитических функций доказана теорема существования и единственности решения, имеющего вид тепловой волны, распространяющейся по холодному фону с конечной скоростью (если задано направление движения тепловой волны). Предложена конструктивная процедура построения решения в виде кратного степенного ряда, коэффициенты которого определяются рекуррентно из систем линейных алгебраических уравнений, не обладающих свойством строгого диагонального преобладания, при этом размерность систем неограниченно растёт вместе с увеличением порядка коэффициентов. Поскольку указанная процедура позволяет строить коэффициенты ряда в явном виде, построенное решение может быть использовано для верификации численных расчетов.

1. Баренблатт Г. И. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г. И. Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. – М. : Недра, 1972. – 288 с.

2. Баутин С. П. Аналитическая тепловая волна / С. П. Баутин. – М. : Физматлит, 2003. – 88 с.

3. Баутин С. П. Обобщенная задача Коши и ее приложения / С. П. Баутин, А. Л. Казаков. – Новосибирск : Наука, 2006. – 397 с.

4. Зельдович Я. Б. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры / Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец // Сборник, посвященный 70-летию А. Ф. Иоффе. – 1950. – С. 61–71.

5. Казаков А. Л. Применение характеристических рядов для построения решений нелинейных параболических уравнений и систем с вырождением / А. Л. Казаков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2012. – Т. 18, № 2. – С. 114–122.

6. Казаков А. Л. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачи нелинейной фильтрации с вырождением / А. Л. Казаков, А. А. Лемперт // Вычисл. технологии. – 2012. – Т. 17, № 1. – С. 57–68.

7. Казаков А. Л. О существовании и единственности решения краевой задачи для параболического уравнения нестационарной фильтрации / А. Л. Казаков, А. А. Лемперт // Приклад. механика и техн. физика. – 2013. – Т. 54, № 2(318). – С. 97–105.

8. Казаков А. Л. Обо дной краевой задаче для нелинейного уравнения теплопроводности в случае двух пространственных переменных / А. Л. Казаков, П. А. Кузнецов // Сиб. журн. индустриал. математики. – 2014. – Т. 17, № 1. – С. 46–54.

9. Казаков А. Л. Обо дной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах / А. Л. Казаков, П. А. Кузнецов, Л. Ф. Спевак // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2014. – Т. 20, № 1. – С. 119–129.

10. Казаков А. Л. Методы граничных элементов и степенных рядов в одномерных задачах нелинейной фильтрации / А. Л. Казаков, Л. Ф. Спевак // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 2–17.

11. Олейник О. А. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации / О. А. Олейник, А. С. Калашников, Юй-линь Чжоу // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1958. – Т. 22, вып. 5. – С. 667–704.

12. Рудых Г. А. Неавтомодельные решения многомерного уравнения нелинейной диффузии / Г. А. Рудых, Э. И. Семёнов // Мат. заметки. – 2000. – Т. 67, № 2. – С. 250–256.

13. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. – М. : Наука, 1987. – 480 с.

14. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика / А. Ф. Сидоров. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с.

15. Kazakov A. Numerical and analytical studies of a nonlinear parabolic equation with boundary conditions of a special form / A. Kazakov, L. Spevak // Applied Mathematical Modelling. – 2013. Vol. 37, N 10-11. – P. 6918–6928.

16. Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory / J. L. Vazquez. – Oxford : Clarendon Press, 2007. – 624 p.