В работе методами теории фундаментальных оператор-функций исследована задача Коши для интегро-дифференциального уравнения в банаховых пространствах с фредгольмовым оператором в главной части. Построена фундаментальная оператор-функция, с помощью которой получена конструктивная формула для обобщенного решения в классе распределений с ограниченным слева носителем. Описаны условия совпадения классического и обобщенного решений. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примерах задачи Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений двух-контурной электрической цепи и одной задачи Коши-Дирихле из математической теории вязкоупругости.

1. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. – М. : Наука, 1969. – 528 с.

2. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1979. – 320 с.

3. Логинов Б. В. Обобщенные жордановы структуры в теории ветвления / Б. В. Логинов, Ю. Б. Русак // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных и их приложения. – Ташкент : ФАН, 1978. – С. 139–148.

4. Ушаков Е. И. Статическая устойчивость электрических цепей / Е. И. Ушаков. – Новосибирск : Наука, 1988. – 273 с.

5. Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные операторы в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. вузов. Математика. – 2011. – № 10. – С. 68–79.

6. Фалалеев М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с вырождением в банаховых пространствах и их приложения в математической теории упругости / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2011. – Т. 4, № 1. – С. 118–134.

7. Фалалеев М. В. Начально-краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругости / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Обозрение прикл. и пром. математики. – 2010. – Т. 17, вып. 4. – С. 597–600.

8. Фалалеев М. В. Вырожденные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев, С. С. Орлов // Вестн.ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. – 2011. – Вып. 7, № 4(211). – С. 100–110.

9. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. – 2000. – Т. 41, № 5. – С. 1167–1182.

10. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных и дифференциально-разностных операторов с нетеровым оператором в главной части в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев, Е. Ю. Гражданцева // Сиб. мат. журн. – 2005. – Т. 46, № 6. – С. 1393–1406.

11. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях спектральной ограниченности / М.В. Фалалеев, Е.Ю. Гражданцева // Дифференц. уравнения.– 2006. – Т. 42, № 6. – С. 769–774.

12. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях секториальности и радиальности / М. В. Фалалеев // Изв. вузов. Математика. – 2006. – № 10. – С. 68–75.

13. Cavalcanti M. M. Existence and Uniform Decay for a Non-Linear Viscoelastic Equation with Strong Damping / М. M. Cavalcanti, V. N. Domingos Cavalcanti, J. Ferreira // Math. Meth. Appl. Sci. – 2001. – Vol. 24. – P. 1043–1053.

14. Falaleev M. V. The theory of fundamental operator-functions of degenerative integro-differential operators in Banach spaces / M. V. Falaleev // Proceedings International Mathematical Conference "50 years of IPPI"(2011). ISBN 978-5-901158-15-9. – 6 p.

15. Lyapunov – Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. – Dordrecht : Kluwer Academic Publ., 2002. – 548 p.

16. Sviridyuk G. A. Linear Sobolev-Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. – Utrecht Boston K¨oln Tokyo : VSP, 2003.