рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2016. Том 16

Многочлены Бернулли от нескольких переменных и суммирование мономов по целым точкам рационального параллелотопа

Автор(ы)
О. А. Шишкина
Аннотация

Многочлены Бернулли для натурального x впервые рассматривал Я. Бернулли (1713) в связи с задачей суммирования степеней последовательных натуральных чисел. Для произвольного x эти многочлены изучал Эйлер. А термин многочлены Бернулли был введен Раабе (J. L. Raabe, 1851). Числа и многочлены Бернулли хорошо изучены, нашли широкое применение в различных областях теоретической и прикладной математики.

Работа посвящена некоторым обобщениям чисел и многочленов Бернулли на случай нескольких переменных. Вводится понятие чисел Бернулли, ассоциированных с рациональным конусом, который порожден векторами с целочисленными координатами. Используя числа Бернулли, определяются многочлены Бернулли нескольких переменных. Далее строится разностный оператор, действующий на функциях, определенных в рациональном конусе, и методами теории производящих функций доказывается многомерный аналог основного свойства, состоящего в том, что многочлены Бернулли удовлетворяют разностному уравнению.
Кроме того, вычислены значения интегралов от многочлена Бернулли по сдвигам фундаментального параллелотопа, и для суммы значений мономов в целых точках рационального параллелотопа найден многомерный аналог формулы Бернулли, в которой сумма выражается через интеграл от многочлена Бернулли по параллелотопу с «переменной» вершиной.
Ключевые слова
числа и многочлены Бернулли, производящие функции, суммирование функций, рациональный параллелотоп
УДК
517.55+517.962.2

MSC

32A05+11B68

Литература

1. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. – М. : Наука, 1967.

2. Касселс Дж.В.С. Введение в геометрию чисел / Дж.В.С. Касселс. – М. : Мир, 1965.

3. Ландо С. К. Лекции о производящих функциях / С. А. Ландо. – 3-е изд., испр. — М. : МЦНМО, 2007.

4. Лейнартас E. K. Разрешимость задачи Коши для полиномиального разностного оператора и мономиальные базисы факторов в кольце полиномов / Е. К. Лейнартас, М. С. Рогозина // Сиб. мат. журн. – 2015. – T. 56, № 1. –C. 111–121.

5. Некрасова Т. И. Достаточные условия алгебраичности производящих функций решений многомерных разностных уравнения / Т. И. Некрасова // Изв. Иркут. гос. ун-та. – 2013. – Т. 6, № 3. – С. 88–96.

6. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика / Р. Стенли // Москва, Издательство ”Мир“, 1990

7. Устинов А. В. Дискретный аналог формулы суммирования Эйлера / А. В. Устинов // Мат. заметки. – 2002. – Т. 71, вып. 6. – C. 931–936.

8. Шишкина О. А. Формула Эйлера – Маклорена для рационального параллелотопа / О. А. Шишкина // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.‘Математика‘. – 2015. – Т. 13. – С. 56–71.

9. Эйлер. Л. Дифференциальное исчисление : пер. с лат. / Л. Эйлер. – М. Л., 1949.

10. Brion M. Local Euler-Maclaurin formula for polytopes / M. Brion, N. Berline // Moscow Mathematical Society Journal. – 2007. – Vol. 7. – P. 355–383.

11. Brion M. Lattice points in simple polytopes / M. Brion, M. Vergne // Journal of the American Mathematical Society. – 1997. – Vol. 10, N 2. – P. 371–392.

12. Brion M. Residue formulae, vector partition functions and lattice points in rational polytopes / M. Brion, M. Vergne // Journal of the American Mathematical Society. – 1997. – Vol. 10, N 4. – P. 797–833.

13. Leinartas E. K. Constant coefficient linear difference equations on the rational cones of the integer lattice / E. K. Leinartas, T. I. Nekrasova // Siberian Mathematical Journal. – 2016. – Vol. 57, N 1. – P. 74–85.

14. Shishkina O. A. The Euler-Maclaurin Formula and Differential Operators of Infinite Order / O. A. Shishkina // Journal of Siberian Federal University, Mathematics & Physics.;– 2015. – Vol. 8, N 1. – P. 86–93.


Полная версия (русская)