В работе исследуется интегро-дифференциальное уравнение в свертках специального вида в банаховых пространствах с фредгольмовым операторм в главной части. Изучен вопрос об однозначной разрешимости задачи Коши для такого уравнения в классе распределений с ограниченным слева носителем. Исследования проводятся с помощью теории фундаментальных оператор-функций интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Фредгольмов оператор из дифференциальной части уравнения имеет полный жорданов набор. Ядро интегральной части уравнения имеет в начальной точке нуль, кратность которого определяется максимальной длиной жордановых цепочек базисных элементов ядра фредгольмова оператора и порядком дифференциального оператора уравнения. В этих предположениях доказана теорема о виде фундаментальной оператор-функции (фундаментального решения) для рассматриваемого уравнения. С помощью фундаментальной оператор-функции построено обобщенное решение, иссследована связь между обобщенным и классическим (гладким) решениями. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примере начально-краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения в частных производных. Представленные исследования продолжают цикл работ автора по данной тематике и допускают обобщения на другие случаи сингулярности оператора при старшей производной (нетеровость, спектральная, секториальная или радиальная ограниченность). Рассмотренные в работе интегро-дифференциальные уравнения позволяют в наиболее общей постановке исследовать математические модели теории колебаний в вязкоупругих средах или теории электрических цепей.

MSC

34G10, 45K05, 45N05

1. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. – М. : Наука, 1969. – 528 с.

2. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1979. – 320 с.

3. Сидоров Н. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением / Н. А. Сидоров, О. А. Романова // Дифференц. уравнения. – 1983. – Т. 19, №9. – С. 1516–1526.

4. Фалалеев М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. – 2000. – Т. 41, № 5. – С. 1167–1182.

5. Фалалеев М. В. Сингулярные интегро-дифференциальные уравнения специального вида в банаховых пространствах и их приложения / М. В. Фалалеев // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2013. – Т. 6, № 4. – С. 128–137.

6. Lyapunov – Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. – Dordrecht : Kluwer Academic Publ., 2002. – 548 p.