В теории дискретных функций одним из объектов исследования являются мультифункции - функции, заданные на конечном множестве A и принимающие в качестве своих значений все подмножества множества A. В множестве мультифункций можно выделить множество гиперфункций - функций, принимающих в качестве своих значений все непустые подмножества множества A.

Отношение принадлежности максимальным мультиклонам является отношением эквивалентности и порождает соответствующее разбиение. Используя данное разбиение, можно оценить мощности всех возможных базисов, подсчитать число различных типов базисов одинаковой мощности, построить каркас решетки клонов.

Зная число максимальных клонов, можно оценить сверху число классов разбиения как мощность множества всех подмножеств множества максимальных клонов. Свойства функций позволяют эту оценку понизить. Нижнюю оценку числа классов можно получить, построив соответствующие классы.

Стоит заметить, что с увеличением мощности множества максимальных клонов, сложность задачи описания всех классов эквивалентности значительно возрастает.

В работе рассматриваются мультифункции на двухэлементном множестве. Число максимальных мультиклонов было получено ранее и равно 15 (Пантелеев В. И., 2009).

Основной целью работы является описание разбиения множества гиперфункций на классы эквивалентности. При этом ранее было показано (Казимиров А. С., Пантелеев В. И.), что множество булевых функций, являющееся подмножеством множества гиперфункций, разбивается на 18 классов эквивалентности. В данной работе были найдены специальные свойства гиперфункций относительно принадлежности максимальным гиперклонам и с помощью компьютерного эксперимента описаны все классы эквивалентности, порождаемые функциями от трех аргументов. Полученные результаты позволили показать, что отношение принадлежности максимальным мультиклонам разбивает множество всех гиперфункций на 67 классов эквивалентности.

MSC

08A99,03B50

DOI

https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.21.61

1. Казимиров А. С. О классах булевых функций, порожденных максимальными мультиклонами / А. С. Казимиров, В. И. Пантелеев // Вестн. Бурят. гос. ун-та. Математика и информатика. – 2015. – Вып. 9. – С. 16–22.

2. Казимиров А. С. Классификация и перечисление базисов клона всех гиперфункций ранга 2 / А. С. Казимиров, В. И. Пантелеев, Л. В. Токарева // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2014. – Т. 7. – С. 61–78.

3. Пантелеев В. И. Критерий полноты для недоопределенных частичных булевых функций / В. И. Пантелеев // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. – 2009. – Т. 9, вып. 3. – С. 95–114.

4. Тарасов В. В. Критерий полноты для не всюду определенных функций алгебры логики / В. В. Тарасов // Проблемы кибернетики. – М. : Наука, 1975. – Вып. 30. – С. 319–325.

5. Яблонский С. В. О суперпозициях функций алгебры логики / С. В. Яблонский // Мат. сб. – 1952. – Т. 30, № 2(72), С. 329–348.

6. Krnic L. Types of bases in the algebra of logic / L. Krnic // Glasnik matematicko-fizicki i astronomski. – 1965. – Ser. 2. – Vol. 20. – P. 23–32.

7. Classifikation and basis enumarations in many-valued logics / M. Miykawa, I. Stojmenovic, D. Lau, I. Rosenberg // Proc 17th International Symposium on Multi-Valued logic. – Boston, 1987. – P. 151–160.

8. Classifikation and basis enumarations of the algebras for partial functions / M. Miykawa, I. Stojmenovic, D. Lau, I. Rosenberg // Proc 19th International Symposium on Multi-Valued logic. – Rostock, 1989. – P. 8–13.

9. Lau D. Classification and enumaration of bases in Pk(2) / D. Lau, M. Miykawa // Asian-European Journal of Mathematics. – 2008. – Vol. 01, N 02. – P. 255–282. https://doi.org/10.1142/S1793557108000242

10. Stojmenovic I. Classification of P3 and the enumeration of bases of P3 / I. Stojmenovic // Rev. of Res. 14, Fat. of Sci., Math. Ser. Novi Sad. – 1984. – P. 73–80.

11. Miyakawa M. Classification of three-valued logical functions preserving 0 / M. Miyakawa, I. Rosenberg, I. Stojmenovic // Discrete Applied Mathematics. – 1990. – Vol. 28. – P. 231249. https://doi.org/10.1016/0166-218X(90)90005-W