Список выпусков > Серия «Математика». 2018. Том 24
Приближение аналитических функций универсальными суммами Валле-Пуссена по многочленам Чебышёва
Как известно, многочлены Чебышёва обеспечивают наилучшее равномерное приближение функции. Они являются частным случаем многочленов Фабера. А. И. Швай (1973) доказал, что суммы Валле-Пуссена являются лучшим аппаратом приближения по сравнению с частичными суммами ряда по многочленам Фабера. Поэтому с точки зрения наилучших приближений естественно рассмотреть приближение функций с помощью сумм Валле-Пуссена по многочленам Чебышёва, хотя изучение этих сумм с любых точек зрения представляет определённый интерес. И как отмечают авторы О. Г. Ровенская и О. А. Новиков (2016), «в течение последних десятилетий суммы Валле-Пуссена и их особые случаи (суммы Фурье и суммы Фейера) интенсивно изучались многими выдающимися специалистами в теории функций».
Авторами (2017) данной статьи доказана теорема о суммируемости универсального ряда по многочленам Чебышёва. В настоящей работе найдена подпоследовательность преобразованных сумм Валле-Пуссена, удовлетворяющая условиям этой теоремы, то есть эти суммы являются частным случаем специальных сумм, построенных в упомянутой теореме авторов. Таким образом, указанная выше подпоследовательность сумм Валле-Пуссена обладает свойством универсальности. С помощью так называемых матричных преобразований получено также обобщение этого свойства для данных сумм, которое заключается в следующем: на основе выделенной подпоследовательности строятся суммы, равномерно приближающие любую функцию из определённого класса на компактных специальным образом определённых множествах. Таким образом, построенные суммы обладают свойством универсальности, которое в разное время изучали многие авторы для функциональных рядов. В частности, для рядов Фурье, Дирихле, Фабера, Эрмита и др. Затем изучались обобщения этого свойства. Например, W. Luh (1976) обобщил свойство универсальности степенного ряда.
Существование универсальных рядов и их обобщений доказывалось разными способами в зависимости от специфики рассматриваемых функций и применимости методов. Первым автором (1990) разработан метод матричных преобразований, который в дальнейшем применялся при решении подобных задач (1997, 2012, 2013, 2017). Этот же метод используется при доказательстве основного результата данной работы. W. Luh использовал другой метод.
Об авторах
Додунова Людмила Кузьминична, канд. физ.-мат. наук, доцент, Институт информационных технологий, математики и механики, Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского, Российская Федерация, 603022, Нижний Новгород, просп. Гагарина, 23, e-mail: dodunova@inbox.ru
Агейкин Артем Александрович, магистрант 2-го курса, Институт информационных технологий, математики и механики, Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского, Российская Федерация, 603022, Нижний Новгород, просп. Гагарина, 23, e-mail: ageickin@yandex.ru
1. Бочкарев С. В. Средние Валле-Пуссена рядов Фурье для квадратичного спектра и спектров степенной плотности // Докл. РАН. 2011. Т. 439, № 3. С. 298–303. https://doi.org/10.4213/rm9566
2. Чащина Н. С. К теории универсального ряда Дирихле // Матем. сб. 1963. №4. С. 165–167.
3. Chui C. K., Parnes M. N. Approximation by overconvergence of a power series // J. Math. Anal. Appl. 1971. Vol. 36, N 3. P. 693–696. https://doi.org/10.1016/0022-247X(71)90049-7
4. Дамен В. О наилучшем приближении и суммах Валле-Пуссена // Мат. заметки. 1978. Т. 23, вып. 5. С. 671–683.
5. Додунова Л. К. Об одном обобщении свойства универсальности рядов по многочленам Фабера // Изв. вузов. Математика. 1990. № 12. С. 31–34.
6. Додунова Л. К. Приближение аналитических функций суммами Валле-Пуссена // Изв. вузов. Математика. 1997. № 3. С. 34–37.
7. Додунова Л. К., Агейкин А. А. Суммирование универсальных рядов по многочленам Чебышёва // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2017. Т. 21. С. 51–60. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.21.51
8. Додунова Л. К., Охатрина Д. Д. Обобщение универсального ряда по многочленам Чебышёва // Чебышев. сб. 2017. Т. 18, вып. 1. С. 65–72. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2017-18-1-65-72
9. Edge J. J. Universal trigonometric series // J. Math. Anal. Appl. 1970. N 29. P. 507–511. https://doi.org/10.1016/0022-247X(70)90064-8
10. Ефимов А. В. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23, вып. 5. С. 737–770.
11. Katsoprinakis E., Nestoridis V., Papadoperakis I. Universal Faber series // Analysis (Munich). 2001. N 21. P. 339–363.
12. Коркмасов Ф. М. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье–Якоби // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 2. С. 334–355.
13. Luh W. Uber den Sats von Mergelyan // J. Approxim. Theory. 1976. Vol. l6, N 2. P. 194-–198. https://doi.org/10.1016/0021-9045(76)90048-4
14. Меньшов Д. Е. Об универсальных тригонометрических рядах // Доклады АН СССР. 1945. Т. 49, № 2. С. 79–82.
15. Ровенская О. Г., Новиков О. А. Приближение аналитических периодических функций линейными средними рядов Фурье // Чебышев. сб. 2016. Т. 17, вып. 2. С. 170–183. http://dx.doi.org/10.22405/2226-8383-2016-17-2-170-183
16. Селезнёв А.И. Об универсальных степенных рядах // Мат. сб. 1951. Т. 28, №2. С. 453–460.
17. Селезнёв А. И., Додунова Л. К. К двум теоремам А. Ф. Леонтьева о полноте подсистем полиномов Фабера и Якоби // Изв. вузов. Математика. 1982. № 4. С. 51–55.
18. Шарапудинов И. И. Аппроксимативные свойства средних типа Валле-Пуссена частичных сумм смешанного ряда по полиномам Лежандра // Мат. заметки. 2008. Т. 84, вып. 3. С. 452–471.
19. Швай А. И. Приближение аналитических функций многочленами Валле-Пуссена // Украин. мат. журн. 1973. Т. 25, № 6. С. 848–853.
20. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. Изд. 2-е, доп. М. : Наука, 1979. 416 с.
21. Суетин П. К. Ряды по многочленам Фабера. М. : Наука, 1984. 336 с.
22. Теляковский С. А. Приближение дифференцируемых функций суммами Валле-Пуссена // Докл. АН СССР. 1958. Т. 121, № 3. С. 426–429.