рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2026. Том 57

Собирательная формула и регулярные 𝑝-группы

Автор(ы)

В. М. Леонтьев, Я. С. Фисков

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Российская Федерация

Аннотация
Для любых элементов 𝑥, 𝑦 группы 𝐺 и для любого целого положительного числа 𝑛 выводится собирательная формула для 𝑛-й степени произведения 𝑥𝑦, когда все коммутаторы в 𝐺, имеющие более 3 вхождений элемента 𝑦, равны 1. Пусть 𝑛 = 𝑝 — простое число, и любой коммутатор веса больше 𝑝 − 1 имеет порядок 1 или 𝑝. В терминах отрезка данной формулы, включающего только коммутаторы веса 𝑝 с показателями степеней по модулю 𝑝, получено необходимое условие регулярности конечной 𝑝-группы. Этот результат обобщает известные необходимые условия, использованные при доказательстве нерегулярности некоторых матричных 𝑝-групп.
Об авторах

Леонтьев Владимир Маркович, канд. физ.-мат. наук, доц., Сибирский федеральный университет, Красноярск, 660041, Российская Федерация, v.m.leontiev@outlook.com

Фисков Ярослав Сергеевич, студент, Сибирский федеральный университет, Красноярск, 660041, Российская Федерация, yarfis04@gmail.com

Ссылка для цитирования
В. M. Леонтьев, Я. С. Фисков The Collection Formula and Regular 𝑝-Groups // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2026. Т. 57. C. 113–127. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.57.113
Ключевые слова
собирательная формула Ф. Холла, собирательный процесс, коммутатор, регулярная 𝑝-группа
УДК
512.54
MSC
20F12
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.57.113
Литература
  1. Egorychev G.P., Kolesnikov S.G., Leontiev V.M. Necessary and Sufficient Conditions for the Regularity of the Sylow 𝑝-Subgroups of the Chevalley Groups over Z𝑝 and Z𝑝2 . Sib. Math. J., 2023, vol. 64, no. 3, pp. 500–520. https://doi.org/10.33048/smzh.2023.64.305
  2. Hall P. A contribution to the theory of groups of prime-power order. Proc. Lond. Math. Soc., 1934, vol. 36, no. 2, pp. 29–95. https://doi.org/10.1112/plms/s2-36.1.29
  3. Ivanov F.A., Skopin A.I. Maksimal’naya 2-porozhdennaya transmetabeleva gruppa pervogo tipa eksponenty 9 [A maximal 2-generated transmetabelian group of the first type of exponent 9]. Algebra i analiz, 1990, vol. 2, no. 6, pp. 150–160.
  4. Kolesnikov S.G. O regulyarnosti silovskikh 𝑝-podgrupp grupp 𝐺𝐿𝑛(Z𝑝𝑚) [On the regularity of the Sylow p-subgroups of the group 𝐺𝐿𝑛(Z𝑝𝑚)]. Issl. po matem. analizu i algebre, 2001, vol. 3, pp. 117–124.
  5. Kolesnikov S.G., Leontiev V.M., Egorychev G.P. Two collection formulas. J. Group Theory, 2020, vol. 23, no. 4, pp. 607–628. https://doi.org/10.1515/jgth-2019-0074
  6. Kolesnikov S.G., Leontiev V.M. One necessary condition for the regularity of a 𝑝-group and its application to Wehrfritz’s problem. Sib. Electron. Math. Rep., 2022, vol. 19, no. 1, pp. 138–163. https://doi.org/10.33048/semi.2022.19.013
  7. Krause E.F. On the collection process. Proc. Amer. Math. Soc., 1964, vol. 15, no. 3, pp. 497–504. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1964-0165008-0
  8. Krause E.F. Groups of exponent 8 satisfy the 14th Engel congruence. Proc. Amer. Math. Soc., 1964, vol. 15, no. 3, pp. 491–496. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1964-0165007-9
  9. Leontiev V.M. Kombinatornye voprosy, svyazannye s sobiratel’nym processom F. Holla [Combinatorial problems connected with P. Hall’s collection process]. Sibirskie elektronnye matematicheskie izvestiya, 2020, vol. 17, pp. 873–889. https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.064
  10. Leontiev V.M. O pokazatelyah stepeney kommutatorov iz sobiratel’noy formuly F. Holla [On the exponents of commutators from P. Hall’s collection formula]. Tr. In-ta matematiki i mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 182–198. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2022-28-1-182-198
  11. Leontiev V.M. On the collection process for positive words. Sib. Electron. Math. Rep., 2022, vol. 19, no. 2, pp. 439–459. https://doi.org/10.33048/semi.2022.19.039
  12. Leontiev V.M. On the collection formulas for positive words. J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2024, vol. 17, no. 3, pp. 365–377.
  13. M. Hall Jr. The Theory of Groups. The Macmillan Co., New York, 1959.
  14. Skopin A.I. A collection formula. Journal of Soviet Mathematics, 1978, vol. 9, pp. 337–341. https://doi.org/10.1007/BF01085052
  15. Skopin A.I. Nizhniy central’nyy ryad maksimal’noy 2-porozhdennoy transmetabelevoy gruppy I tipa eksponenty 8 [The lower central series of a maximal 2-generated transmetabelian group of type I of exponent 8]. Algebra i analiz, 1990, vol. 2, no. 5, pp. 197–219.
  16. Skopin A.I. Jacobi identity and P. Hall’s collection formula in two types of transmetabelian groups. Journal of Soviet Mathematics, 1991, vol. 57, pp. 3507–3512. https://doi.org/10.1007/BF01100121
  17. Skopin A.I. A graphic construction of the collection formula for certain types of groups. Journal of Soviet Mathematics, 1993, vol. 63, pp. 693–699. https://doi.org/10.1007/BF01097984
  18. Skopin A.I., Teterin Yu.G. Speeding up an algorithm to construct the Hall collection formula. Journal of Mathematical Sciences, 1998, vol. 89. pp. 1149–1153. https://doi.org/10.1007/BF02355864
  19. Khukhro E.I., Mazurov V.D. (eds.). Unsolved Problems in Group Theory: the Kourovka Notebook. 20th ed. Novosibirsk, Sobolev Institute of Mathematics SB RAS Publ., 2022.

Полная версия (english)