рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2026. Том 57

Тензорное представление численного метода решения задачи Плато

Автор(ы)

В. А. Клячин1,2

1 Волгоградский государственный университет, Волгоград, Российская Федерация 

2 Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Российская Федерация

Аннотация
Предлагается операторный подход для решения вычислительных задач на нерегулярных сетках в виде триангуляций. В основе предлагаемого метода лежит организация вычислительного процесса как последовательности операций над многомерными тензорами, которые представляют все обрабатываемые данные, включая описание структуры триангуляции, вершины триангуляции, стороны треугольников и нормали к ним, а также значения сеточных функций в вершинах триангуляции. Для демонстрации эффективности предлагаемого метода проведен ряд численных экспериментов по вычислению градиента кусочно-линейной функции на триангуляциях. Сравнение времени приводилось с прямым методом вычисления, который подразумевает выполнение вычислений для каждого отдельного треугольника. В качестве нетривиального примера применения указанного подхода рассматривается численное решение задачи Плато на поиск полигональной поверхности минимальной площади в R 3 с фиксированным граничным контуром в виде пространственной ломаной. Решение этой задачи ищется методом градиентного спуска. Расчетная схема представлена в виде тензорных операций, список которых приводится. Программная реализация выполнена с использованием языка программирования Python и его библиотеки NumPy, предназначенной для работы с многомерными массивами. Приведены примеры расчета приближенных решений задачи на минимум площади, моделирующие известные минимальные поверхности: геликоид, катеноид и поверхность Шерка.
Об авторах
Клячин Владимир Александрович, д-р физ.-мат. наук, проф., Волгоградский государcтвенный университет, Волгоград, 400062, Российская Федерация, klchnv@mail.ru
Ссылка для цитирования
Клячин В. А. Тензорное представление численного метода решения задачи Плато // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2026. Т. 57. C. 3–18. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.57.3
Ключевые слова
триангуляция, полигональная поверхность, задача на минимум площади, численные методы, тензорные операции
УДК
517.97
MSC
49J35, 65K10
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.57.3
Литература
  1. Водопьянов С. К., Молчанова А. О. Вариационные задачи нелинейной теории упругости в некоторых классах отображений с конечным искажением // Доклады Академии наук. 2015. Т. 465, № 5. С. 523–526. https://doi.org/10.7868/S086956521535008X
  2. Григорьева Е. Г., Клячин А. А., Клячин В. А. Алгоритмы идентификации границы и визуализация решения задачи Плато в среде Blender // Научная визуализация. 2017. Т. 9, № 4. C. 13–25. https://doi.org/10.26583/sv.9.4.02
  3. Дао Чонг Тхи, Фоменко А. Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. М. : Наука, 1987. 312 с.
  4. Клячин В. А., Кузьмин В. В. О существовании приближенных решений вариационных задач в нелинейной теории упругости // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2025. Т. 53. С. 51–68. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.53.51
  5. Краснов М. М., Балашов В. А., Савенков Е. Б. Применение сеточно-операторного подхода для эффективной реализации явных разностных схем // Математическое моделирование. 2021. Т. 33, № 2. С. 20–40. https://doi.org/10.20948/mm-2021-02-02
  6. Кузьмин В. В. Расчет 3D-формы гиперупругого тела для моделей нелинейной теории упругости методом Ньютона // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2024. Т. 27, № 2. С. 80–91. https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2024.2.7
  7. О представлении разностных схем математической физики в операторной форме / А. А. Самарский, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский, М. Ю. Шашков // Доклады АН СССР. 1981. Т. 258, № 5. С. 1092–1096.
  8. Операторные разностные схемы / А. А. Самарский, В. Ф. Тишкин, А. П. Фаворский, М. Ю. Шашков // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 7, № 7. С. 1317–1327.
  9. Саранин В. А. Равновесие жидкостей и его устойчивость. М. : Ин-т компьютер. исслед., 2002. 144 c.
  10. Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория / с доб. Х. Уэнта ; пер. с англ. З. Я. Шапиро ; под ред. А. Т. Фоменко. М. : Мир, 1989. 310 с.
  11. Ball J. M. Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity // Arch. Ration. Mech. Anal. 1977. N 63. P. 337–403.
  12. Klyachin A. A., Klyachin V. A. Study of the existence and uniqueness of polygonal minimal surfaces // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2025. Vol. 46, N 3. pp. 1139–1150. https://doi.org/10.1134/S1995080225605156

Полная версия (русская)