рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2026. Том 56

Диэдральные и кватернионные подгруппы автотопизмов полуполевых проективных плоскостей порядка 𝑝4

Автор(ы)

О. В. Кравцова , Д. С. Скок

Сибирский федеральный университет, Красноярск, Российская Федерация

Аннотация
Отмечается, что в 1959 г. Д. Р. Хьюз выдвинул предположение, что полная группа коллинеаций всякой конечной недезарговой полуполевой проективной плоскости разрешима (см. также вопр. 11.76 Н. Д. Подуфалова в «Коуровской тетради»). Метод регулярного множества предлагается использовать для исключения некоторых простых неабелевых групп из списка возможных подгрупп автотопизмов (коллинеаций, фиксирующих треугольник). Настоящая статья продолжает цикл результатов о 2-подгруппах и 2-элементах в группе автотопизмов. Естественные ограничения, полученные ранее, позволяют завершить описание диэдральных и кватернионных подгрупп порядка 8 в группе автотопизмов, с указанием их геометрического смысла. Получено матричное представление регулярного множества для полуполевой проективной плоскости нечетного порядка и размерности 4 над центром, в зависимости от характеристики его простого подполя. Доказано, что диэдральная подгруппа автотопизмов порядка 8 обязательно содержит перспективности и поэтому не может быть подгруппой никакой простой неабелевой группы. Для случая кватернионной подгруппы автотопизмов без перспективностей построены примеры полуполевых проективных плоскостей порядков 81 и 2401 с точностью до изоморфизма. Список исключений дополняет классические результаты Х. Люнебурга и других о проективных специальных линейных подгруппах коллинеаций. Используемый метод и описанные алгоритмы допускают обобщение на случай другой размерности или другого порядка.
Об авторах

Кравцова Ольга Вадимовна, д-р физ.-мат. наук, доц., Сибирский федеральный университет, Красноярск, 660041, Российская Федерация, ol71@bk.ru

Скок Дарья Сергеевна, Сибирский федеральный университет, Красноярск, 660041, Российская Федерация, skokdarya@yandex.ru

Ссылка для цитирования
Kravtsova O. V., Skok D. S. Dihedral and Quaternion Autotopism Subgroups of Semifield Projective Planes of Order 𝑝4 // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2026. Т. 56. C. 145–159. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.56.145
Ключевые слова
полуполевая плоскость, полуполе, регулярное множество, группа автотопизмов, группа кватернионов, группа диэдра, проблема Хьюза
УДК
512.554
MSC
12K99, 15A04, 17A35, 17D99
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.56.145
Литература
  1. Dickson L. E. Linear algebras in which division is always uniquely possible // Trans. Amer. Math. Soc. 1906. Vol. 7, N 3. P. 370–390. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1906-1500755-5
  2. Goldschmidth D. M. 2-fusion in finite groups // Ann. Math. 1974. Vol. 99, N 1. P. 70–117.
  3. Hughes D. R. Review of some results in collineation groups // Proc. Sympos. Pure Math., American Mathematical Society, Providence, R. I. 1959. Vol. 1. P. 42–55.
  4. Hughes D.R., Piper F.C. Projective planes. New York : Springer-Verlag, 1973. 292 p.
  5. Johnson N. L., Jha V., Biliotti M. Handbook of finite translation planes. London : Chapman and Hall, 2007. 861 p. ISBN 9781584886051
  6. Кравцова О. В. 2-элементы в группе автотопизмов полуполевой проективной плоскости // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 39. С. 96–110. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.39.96
  7. Kravtsova O. V. Dihedral group of order 8 in an autotopism group of a semifield projective plane of odd order // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2022. Vol. 15, N 3. P. 378–384. https://doi.org/10.17516/1997-1397-2022-15-3-378-384
  8. Kravtsova O. V., Skok D. S. Non-Abelian autotopism subgroups of order 8 of semifield projective planes // Труды ИММ УрО РАН. 2025. Т. 31, № 1. С. 90–100. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2025-31-1-90-100
  9. Lüneburg H. Charakterisierungen der endlichen Desarguesschen projectiven Ebenen // Math. Z. 1964. Vol. 85. P. 419–450. https://doi.org/10.1007/BF01115362
  10. Maduram D. M. Matrix representation of translation planes // Geom Dedicata. 1975. Vol. 4. P. 485–492. https://doi.org/10.1007/BF00148776
  11. Montinaro A. The general structure of the projective planes admitting 𝑃𝑆𝐿(2, 𝑞) as a collineation group // Innovations in Incidence Geometry. 2007. Vol. 5. P. 35–116. DOI: 10.2140/iig.2007.5.35
  12. Moorhouse G. E. 𝑃𝑆𝐿(2, 𝑞) as a collineation group of projective planes of small order // Geom. Dedicata. 1989. Vol. 31. P. 63–88. https://doi.org/10.1007/BF00184160

Полная версия (english)