рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2026. Том 55

Система уравнений Каупа с нагруженным членом в классе периодических функций

Автор(ы)

А. Б. Яхшимуратов1, О. М. Матёкубов2 

1 Университет Мамуна, Хива, Узбекистан

2 Ургенчский государственный университет, Ургенч, Узбекистан

Аннотация
Рассматривается система нелинейных уравнений Каупа с нагруженным дополнительным членом в классе периодических функций по пространственной переменной. Доказана неизменяемость спектра и выведен аналог системы Дубровина для эволюции спектральных параметров квадратичного пучка операторов Штурма – Лиувилля на всей прямой, периодические коэффициенты которой являются решением задачи Коши поставленной для нагруженной системы нелинейных уравнений Каупа. При помощи формул следов и аналога системы Дубровина показано, что нагруженную систему нелинейных уравнений Каупа можно интегрировать методом обратной спектральной задачи. Получен алгоритм решения задачи Коши для нагруженной нелинейной системы Каупа в классе периодических функций по пространственной переменной. Показано, что если начальные функции действительные аналитические функции, то и решение будет аналитической функцией по пространственной переменной. Выявлена 𝜋/2-периодичность решения по пространственной переменной при 𝜋/2-периодичности начальных функций.
Об авторах

Яхшимуратов Алишер Бекчанович, д-р физ.-мат. наук, Университет Мамуна, Хива, 220900, Узбекистан, albaron@mail.ru

Матёкубов Оллаберган Махсудович, ассистент, Ургенчский государственный университет, Ургенч, 220100, Узбекистан, ollabergan2021@mail.ru

Ссылка для цитирования
Яхшимуратов А. Б., Матёкубов О. М. Система уравнений Каупа с нагруженным членом в классе периодических функций // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2026. Т. 55. C. 46–62. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.55.46
Ключевые слова
система уравнений Каупа с нагруженным членом, квадратичный пучок уравнений Штурма – Лиувилля, спектральные данные, обратная спектральная задача, система уравнений Дубровина, формула следов
УДК
517.957
MSC
35P25, 35P30, 35Q51, 35Q53, 37K15
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.55.46
Литература
  1. Бабажанов Б. А., Хасанов А. Б., Яхшимуратов А. Б. Об обратной задаче для квадратичного пучка операторов Штурма – Лиувилля с периодическим потенциалом // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 3. С. 298–305. http://mi.mathnet.ru/de11237
  2. Гусейнов Г. Ш. Обратные спектральные задачи для квадратичного пучка операторов Штурма – Лиувилля на конечном интервале // Спектральная теория операторов и ее приложения. Баку : Элм, 1986. Вып. 7. С. 51–101. 
  3. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма – Лиувилля. М. : Наука, 1984. 
  4. Матёкубов М. М. Интегрирование уравнения типа Кортевега – де Фриза с нагруженным членом в классе периодических функций // Известия ИМИ УдГУ. 2024. Т. 64. С. 60–69. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2024-64-05
  5. Смирнов А. О. Вещественные конечнозонные регулярные решения уравнения Каупа – Буссинеска // Теоретическая математическая физика. 1986. Т. 66, № 1. С. 30–46. https://doi.org/10.1007/BF01028935
  6. Уразбоев Г. У., Хасанов М. М., Исмоилов О. Б. Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза отрицательного порядка с нагруженным членом в классе периодических функций // Дифференциальные уравнения. 2024. Т. 60, № 12. С. 1703–1712. https://doi.org/10.31857/S0374064124120094
  7. Хасанов А. Б., Матякубов М. М. Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега – де Фриза с дополнительным членом // Теоретическая математическая физика. 2020. Т. 203, № 2. С. 192–204. https://doi.org/10.4213/tmf9693
  8. Хасанов А. Б., Хасанов М. М. Интегрирование нелинейного уравнения Шредингера с дополнительным членом в классе периодических функций // Теоретическая и математическая физика. 2019. Т. 199, № 1. С. 60–68. https://doi.org/10.4213/tmf9581
  9. Хоитметов У. А. Интегрирование нагруженного уравнения КдФ с самосогласованным источником интегрального типа в классе быстроубывающих комплекснозначных функций // Математические труды. 2021. Т. 24, № 2. С. 181–198. https://doi.org/10.33048/mattrudy.2021.24.211
  10. Юрко В. А. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов // Математический сборник. 2000. Т. 191, № 10. С. 137–160. https://doi.org/10.1070/sm2000v191n10ABEH000520
  11. Яхшимуратов А. Б. Аналог обратной теоремы Борга для квадратичного пучка операторов Штурма – Лиувилля // Вестник Елецкого государственного университета им. И. А.Бунина. Серия: Математика. Компьютерная математика. 2005. Т. 8, № 1. С. 121–126. 
  12. Яхшимуратов А. Б., Бабаджанов Б. А. Интегрирование уравнений типа системы Каупа с самосогласованным источником в классе периодических функций // Уфимский математический журнал. 2020. Т. 12, № 1. С. 103–113. https://doi.org/10.13108/2020-12-1-103
  13. Яхшимуратов А. Б., Матёкубов М. М. Интегрирование нагруженного уравнения Кортевега – де Фриза в классе периодических функций // Известия вузов. Математика. 2016. № 2. С. 87–92. https://www.mathnet.ru/eng/ivm/y2016/i2/p87
  14. Яхшимуратов А. Б., Хасанов М. М. Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза с самосогласованным источником в классе периодических функций // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50, № 4. С. 536–543. https://doi.org/10.1134/S0012266114040119
  15. Babajanov B. A., Azamatov A. Sh. Integration of the Kaup–Boussinesq system with a self-consistent source via inverse scattering method // Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Kompyuternye Nauki. 2022. Vol. 32, N 2. P. 153–170. http://dx.doi.org/10.35634/vm220201. 
  16. Babajanov B. A., Sadullaev Sh. O., Ruzmetov M. M. Integration of the Kaup–Boussinesq system via inverse scattering method // Partial Diffrential Equations in Applied Mathematics. 2024. Vol. 11. P. 100813. https://doi.org/10.1016/j.padiff.2024.100813
  17. Buterin S. A., Yurko V. A. Inverse problems for second-order differential pencils with Dirichlet boundary conditions // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2012. Vol. 20, N 5-6, P. 855–881. https://doi.org/10.1515/jip-2012-0062
  18. Cabada A., Yakhshimuratov A. The system of Kaup equations with a self-consistent source in the class of periodic functions // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2013. Vol. 9, N 3. P. 287–303. http://jnas.nbuv.gov.ua/article/UJRN-0000490597
  19. Chuan-Fu Yang, Yong-Xia Guo. Determination of a differential pencil from interior spectral data // Journal of mathematical Analysis and Applications. 2011. Vol. 375, N 1. P. 284–293. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.09.011
  20. Guseinov G. Sh. On construction of a quadratic Sturm-Liouville operator pencil from spectral data // Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan. 2014. Vol. 40. P. 203–214. https://proc.imm.az/volumes/40-s/40-s-16.pdf
  21. Hryniv R. O., Manko S. S. Inverse scattering on the half-line for energydependent Schr¨odinger equations. // Inverse Problems. 2020. Vol. 36, N 9. 095002. https://doi.org/10.1088/1361-6420/aba416
  22. Hryniv R., Pronska N. Inverse spectral problems for energy-dependent SturmLiouville equations. // Inverse Problems. 2012. Vol. 28, N 8. 085008. https://doi.org/10.1088/0266-5611/28/8/085008
  23. Jaulent M., Jean C. The inverses-wave scattering problem for a class of potentials depending on energy // Commun. Math. Phys. 1972. Vol. 28. P. 177–220. https://doi.org/10.1007/BF01645775
  24. Kaup D.J. A higher-order water-wave equation and the method for solving it // Prog. Theor. Phys. 1975. Vol. 54. P. 396–408. https://doi.org/10.1143/PTP.54.396 
  25. Khasanov A. B., Hoitmetov U. A. On integration of the loaded mKdV equation in the class of rapidly decreasing functions // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2021. Т. 38. С. 19–35. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.38.19
  26. Khasanov M. M., Rakhimov I. D., Azimov D. B. Integration of the loaded negative order nonlinear Schr¨odinger equation in the class of periodic functions // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2024. Т. 50. С. 51–65. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.50.51
  27. Matveev V. В., Yavor M. I. Solutions presque periodiques et a N-solitons de l’equation hydrodynamique nonlineaire de Kaup // Ann. Inst. Henri Poincare, Sect. A. 1979. Vol. 31. P. 25–41. http://eudml.org/doc/76040
  28. Urazboev G. U., Khasanov M. M., Ganjaev O. Y. Integration of the loaded negative order Korteweg-de Vries equation in the class of periodic functions // International Journal of Applied Mathematics. 2024. Vol. 37, N 1. P. 37–46. http://www.diogenes.bg/ijam/contents/2024-37-1/4/4.pdf 
  29. Yakhshimuratov A. The nonlinear Schr¨odinger equation with a self-consistent source in the class of periodic functions // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 2011. Vol. 14. P. 153–169. https://doi.org/10.1007/s11040-011-9091-5
  30. Yakhshimuratov A., Kriecherbauer T., Babajanov B. On the construction and integration of a hierarchy for the Kaup system with a self-consistent source in the class of periodic functions // Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. 2021. Vol. 17, N 2. P. 233–257. https://doi.org/10.15407/mag17.02.233
  31. Yurko V. Inverse problem for quasi-periodic differential pencils with jump conditions inside the interval // Complex Analysis and Operator Theory. 2016. Vol. 10, N 6. P. 1203–1212. https://doi.org/10.1007/s11785-015-0493-4

Полная версия (русская)