рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2026. Том 55

О методе коллокации при построении решения уравнения изгиба длинной прямоугольной нанопластины

Автор(ы)

О. В. Гермидер1, В. Н. Попов1

1 Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова, Архангельск, Российская Федерация

Аннотация
В рамках теории микроструктурной деформации предлагается новый подход для построения решения уравнения изгиба длинной прямоугольной нанопластины, которая находится под действием поперечной нагрузки. Предлагаемый подход основан на методе коллокации с применением системы ортогональных многочленов Чебышева первого рода. Функция изгиба представляется в виде частичной суммы ряда по этим многочленам. В качестве точек коллокации выбираются корни многочленов Чебышева первого рода. Путем последовательного умножения левой и правой частей полученного матричного уравнения на обратную матрицу к матрице со значениями многочленов Чебышева в точках коллокации и на обобщенную обратную матрицу к вырожденной матрице дифференцирования этих многочленов уравнение изгибающей поверхности с учетом граничных условий приводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов в представлении решения. При этом элементы каждой из указанных матриц представлены в явном виде. Получена оценка погрешности построенного решения по бесконечной норме. Представлены результаты проведенных вычислительных экспериментов, которые демонстрируют эффективность предложенного подхода.
Об авторах

Попов Василий Николаевич, д-р физ.-мат. наук, проф., Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова, Архангельск, 163002, Российская Федерация, v.popov@narfu.ru

Гермидер Оксана Владимировна, канд. физ.-мат. наук, доц., Северный (Арктический) федеральный университет им. М. В. Ломоносова, Архангельск, 163002, Российская Федерация, o.germider@narfu.ru

Ссылка для цитирования
Гермидер О. В., Попов В. Н. О методе коллокации при построении решения уравнения изгиба длинной прямоугольной нанопластины // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2026. Т. 55. C. 15–30. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.55.15
Ключевые слова
микроструктурная деформация тонких пластин, уравнение изгиба длинной нанопластины, метод коллокации, многочлены Чебышева
УДК
517.958
MSC
34B60
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.55.15
Литература
  1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М. : Лаборатория знаний, 2020. 636 с. 28 
  2. Варин В. П. Аппроксимация дифференциальных операторов с учетом граничных условий // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2023. Т. 63, № 8. С. 1251–1271. https://doi.org/10.31857/S004446692308015X
  3. Гермидер О. В., Попов В. Н. Математическое моделирование изгиба защемленной по контуру тонкой ортотропной пластины // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2024. Т. 20, № 3. С. 310–323. https://doi.org/10.21638/spbu10.2024.301 
  4. Гермидер О. В., Попов В. Н. О методе коллокации при построении решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода с использованием многочленов Чебышева и Лежандра // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2024. Т. 50. С. 19–35. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.50.19
  5. Примеры точных решений задач изгиба пластины со свободными лицевыми плоскостями / Е. М. Зверяев, М. Д. Коваленко, Д. А. Абруков, И. В. Меньшова, А. П. Кержаев // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2019. Т. 46. С. 1–17. https://doi.org/10.20948/prepr-2019-46
  6. Михасев Г. И. Длинноволновые изгибные колебания и деформация малоразмерной полосы-балки с учетом поверхностных эффектов // Прикладная механика и техническая физика. 2024. Т. 65, № 2. С. 214–225. https://doi.org/10.15372/PMTF202315379
  7. Севастьянов Л. А., Ловецкий К. П., Кулябов Д. С. Новый подход к формированию систем линейных алгебраических уравнений для решения обыкновенных дифференциальных уравнений методом коллокаций // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023. Т. 23, № 1. С. 36–47. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2023-23-1-36-47
  8. Amiraslani A., Corless R. M., Gunasingam M. Differentiation matrices for univariate polynomials // Numerical Algorithms. 2020. Vol. 83. P. 1–31. https://doi.org/10.1007/s11075-019-00668-z
  9. Babu B., Patel B. P. Analytical solution for strain gradient elastic Kirchhoff rectangular plates under transverse static loading // European Journal of Mechanics / A Solids. 2019. Vol. 73. P. 101–111. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2018.07.007
  10. The bending-gradient theory for thick plates: existence and uniqueness results / N. Bejjani, K. Sab, J. Bodgi, A. Lebee // Journal of Elasticity. 2018. Vol. 133. P. 37–72. https://doi.org/10.1007/s10659-017-9669-7
  11. Corless R. M., Jeffrey D. J. The Turing factorization of a rectangular matrix // ACM SIGSAM Bulletin. 1997. Vol. 31, N 3. P. 20–30. https://doi.org/10.1145/271130.271135
  12. Hu X., Wang Z., Hu B. A collocation method based on roots of Chebyshev polynomial for solving Volterra integral equations of the second kind // Applied Mathematics Letters. 2023. Vol. 29, N 108804. P. 1–8. https://doi.org/10.1016/j.aml.2023.108804
  13. Golub G. H., Van Loan C. F. Matrix Computations. 3rd ed. Baltimore : Johns Hopkins University Press, 1996. 728 p. 
  14. Mason J., Handscomb D. Chebyshev polynomials. Florida : CRC Press, 2003. 335 p. 
  15. Niiranen J., Niemi A. H. Variational formulations and general boundary conditions for sixth-order boundary value problems of gradient-elastic Kirchhoff plates // European Journal of Mechanics / A Solids. 2017. Vol. 61. P. 164–179. http://dx.doi.org/10.1016/j.euromechsol.2016.09.001
  16. Papargyri-Beskou S., Giannakopoulos A. E., Beskos D. E. Variational analysis of gradient elastic flexural plates under static loading // Int. J. Solids Struct. 2010. Vol. 47, N 20. P. 2755–2766. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2010.06.003
  17. Siddique M. U. M., Nazmul I. M. Static bending analysis of BDFG nanobeams by nonlocal couple stress theory and nonlocal strain gradient theory // Forces in Mechanics. 2024. Vol. 17, N 100289. P. 1–16. https://doi.org/10.1016/j.finmec.2024.100289
  18. Timoshenko S., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. New York : McGraw-Hill Press, 1959. 580 p. 19. Zhou Y., Huang K. On simplified deformation gradient theory of modified gradient elastic Kirchhoff–Love plate // European Journal of Mechanics / A Solids. 2023. Vol. 100, N 105014. P. 1–14. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2023.105014

Полная версия (русская)