рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2026. Том 55

Об одном асимптотическом свойстве ядер Дирихле

Автор(ы)

Е. Д. Алферова 1,2, В. Е. Подольский1,2, В. Б.Шерстюков1,2 

1 Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Российская Федерация 

2 Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Москва, Российская Федерация  

Аннотация
Исследуется ядро Дирихле, свойства которого — суммы косинусов кратных дуг — представляют несомненный интерес в теории тригонометрических рядов. Например, хорошо известны результаты об асимптотическом поведении констант Лебега, представляющих собой интегральные нормы ядер Дирихле. Эти результаты постоянно развиваются и обобщаются применительно к различным системам функций как в одномерной, так и в многомерной ситуациях. Найден главный член асимптотики для величины глобального минимума ядра Дирихле при стремлении его номера к бесконечности. Главный член есть произведение означенного номера на отрицательную константу, которая совпадает с величиной глобального минимума sinc-функции (кардинального синуса). В доказательстве используется связь ядер Дирихле с многочленами Чебышева второго рода. Отмечено, что результат претерпевает количественные изменения при переходе к лакунарным суммам косинусов. Интерес к подобным конструкциям вызван поставленной несколько лет назад Л. Е. Россовским и А. А. Товсултановым задачей о вычислении спектрального радиуса для специального однопараметрического семейства функциональных операторов. Вопрос сводится к изучению поведения «длинных» произведений синусов с лакунами в аргументах. Показано, что выявленное асимптотическое свойство ядер Дирихле оказывается полезным в схожей «нелакунарной» задаче.
Об авторах

Алферова Елена Дмитриевна, канд. физ.-мат. наук, доц., Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Москва, 119991, Российская Федерация, elena.alferova@gmail.com

Подольский Владимир Евгеньевич, д-р физ.-мат. наук, проф., Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Москва, 119991, Российская Федерация, wpve@yandex.ru 

Шерстюков Владимир Борисович, д-р физ.-мат. наук, проф., Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Москва, 119991, Российская Федерация, shervb73@gmail.com

Ссылка для цитирования
Алферова Е. Д., Подольский В. Е., Шерстюков В. Б. Об одном асимптотическом свойстве ядер Дирихле // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2026. Т. 55. C. 3–14. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.55.3
Ключевые слова
ядро Дирихле, многочлены Чебышева второго рода, произведение синусов, sinc-функция
УДК
517.521
MSC
26D05, 42A05
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2026.55.3
Литература
  1. Алферова Е. Д., Подольский В. Е., Шерстюков В. Б. Элементарный метод в задаче о вычислении спектрального радиуса для специального семейства функциональных операторов // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика. Механика. 2025. № 3. С. 3–11. https://doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-66-3-1
  2. Алферова Е. Д., Подольский В. Е., Шерстюков В. Б. Асимптотическое поведение «длинных» произведений синусов и числа Пизо // Математические заметки. 2025. Т. 117, № 1. С. 16–31. https://doi.org/10.4213/mzm14427 
  3. Алферова Е. Д., Шерстюков В. Б. О вычислении предела специальной последовательности тригонометрических функций // Математические заметки. 2024. Т. 115, № 2. С. 298–303. https://doi.org/10.4213/mzm14160 
  4. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М. : Физматлит, 1961. 936 с. 
  5. Белов А. С. Об экстремальной задаче о минимуме свободного члена неотрицательного тригонометрического полинома // Труды ИММ УрО РАН. 2011. Т. 17, № 3. С. 105–121. https://doi.org/10.1134/S0081543812050070 
  6. Белов А. С. Об асимптотическом решении одной экстремальной задачи, связанной с неотрицательными тригонометрическими полиномами // Фундаментальная и прикладная математика. 2013. Т. 18, № 5. С. 27–67. https://doi.org/10.1007/s10958-015-2483-5 
  7. Журавлев Н. Б., Россовский Л. Е. Спектральный радиус параметрического семейства функциональных операторов // Успехи математических наук. 2020. Т. 75, № 5. С. 195–196. https://doi.org/10.4213/rm9967 
  8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М. : Мир, 1965. 615 с. 
  9. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М. : Наука, 1981. 800 с. 
  10. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. Изд. 2-е. М. : Наука, 1979. 416 с. 
  11. Zhuravlev N. B., Rossovskii L. E. Spectral radius formula for a parametric family of functional operators // Regular and Chaotic Dynamics. 2021. Vol. 26, N 4. P. 392–401. https://doi.org/10.1134/S1560354721040055
  12. Rossovskii L. E., Tovsultanov A. A. Elliptic functional differential equation with affine transformation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2019. Vol. 480, N 2, 123403. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2019.123403

Полная версия (русская)