рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2025. Том 54

Обогащения и обеднения структур и теорий, их иерархии

Автор(ы)

С. В. Судоплатов1, 2

1 Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Российская Федерация

2 Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Российская Федерация

Аннотация
Изучение и описание возможностей обогащений и обеднений структур и их теорий используется для получения структурной информации как в целом, так и для различных естественных алгебраических, геометрических, упорядоченных теорий и моделей. Истоки такого описания основаны на известных теоретикомодельных операциях морлизации, или атомизации, и сколемизации, позволяющих сохранять или естественным образом расширять систему формульно определимых множеств данной структуры и получать уровень элиминации кванторов, при котором формульно определимые множества представлены как булевы комбинации определимых множеств, заданных формулами без кванторов. Операции шелахизации, или неймизации, производят как обогащения, так и расширения структуры, при которых задаются имена или метки для определимых множеств. Вводятся и изучаются некоторые общие принципы и иерархические свойства обогащений и обеднений структур и их теорий. Эти принципы основаны на верхних и нижних конусах, решетках и перестановках. Общий подход применяется для описания этих свойств для классов 𝜔-категоричных теорий и структур, эренфойхтовых теорий и их моделей, сильно минимальных, 𝜔1-категоричных и стабильных теорий и структур. При этом все эти классы замкнуты относительно перестановок. Доказано, что любые слияния сильно минимальных структур также являются сильно минимальными, тогда как свойства 𝜔-категоричности, эренфойхтовости, 𝜔1-категоричности и стабильности могут нарушаться при слияниях. Также показано, что классы 𝜔- категоричных, сильно минимальных и стабильных регулярных структур замкнуты относительно нижних конусов всех их элементов, тогда как классы эренфойхтовых и 𝜔1-категоричных структур этим свойством не обладают, причем некоторые бесконечные цепочки расширений чередуют эренфойхтовость и неэренфойхтовость, а другие бесконечные цепочки чередуют 𝜔1-категоричность и не 𝜔1-категоричность.
Об авторах
Судоплатов Сергей Владимирович, д-р физ.-мат. наук, проф., Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, 630090, Российская Федерация, sudoplat@math.nsc.ru; Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, 630073, Российская Федерация, sudoplatov@corp.nstu.ru
Ссылка для цитирования
Sudoplatov S. V. Expansions and Restrictions of Structures and Theories, Their Hierarchies // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2025. Т. 54. C. 143–159. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.54.143
Ключевые слова
иерархия, свойство, обогащение структуры, обеднение структуры, теория
УДК
510.67
MSC
03C30, 03C45, 03C52
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.54.143
Литература
  1. Baldwin J.T., Lachlan A.H. On strongly minimal sets. The Journal of Symbolic Logic, 1971, vol. 36, no. 1, pp. 79–96. https://doi.org/10.2307/2271517
  2. Benedikt M., Hrushovski E. Model equivalences. arXiv:2406.15235v1 [math.LO], 2024, 61 p. https://doi.org/10.48550/arXiv.2406.15235
  3. Erimbetov M.M. Complete theories with 1-cardinal formulas. Algebra and Logic, 1975, vol. 14, no. 3, pp. 151–158. https://doi.org/10.1007/BF01668549
  4. Ershov Yu.L., Palyutin E.A. Mathematical Logic. Moscow, Fizmatlit Publ., 2011, 356 p. (in Russian)
  5. Harnik V., Harrington L. Fundamentals of forking. Annals of Pure and Applied Logic, 1984, vol. 26, no. 3, pp. 245–286. https://doi.org/10.1016/0168-0072(84)90005-8
  6. Hasson A., Hils M. Fusion over sublanguages. The Journal of Symbolic Logic, 2006, vol. 71, no. 2, pp. 361–398. https://doi.org/10.2178/jsl/1146620149
  7. Hodges W. Model theory. Cambridge, Cambridge University Press, 1993, 772 p.
  8. Lachlan A.H. Theories with a finite number of models in an uncountable power are categorical. Pacific Journal of Mathematics, 1975, vol. 61, no. 2, pp. 465–481. https://doi.org/10.2140/pjm.1975.61.465
  9. Markhabatov N.D., Sudoplatov S.V. Pseudofinite formulae. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2022, vol. 43, no. 12, pp. 3583–3590. https://doi.org/10.1134/S1995080222150215
  10. Omarov B. Nonessential extensions of complete theories. Algebra and Logic, 1983, vol. 22, no. 5, pp. 390–397. https://doi.org/10.1007/BF01982116
  11. Pillay A. Countable models of stable theories. Proceedings of the American Mathematical Society, 1983, vol. 89, no. 4, pp. 666–672. https://doi.org/10.2307/2044603
  12. Shelah S. Classification theory and the number of non-isomorphic models. Amsterdam, North-Holland, 1990, 705 p.
  13. Simon P. A guide to NIP theories. Lecture Notes in Logic 44, Cambridge, Cambridge University Press, 2015, 156 p.
  14. Skolem Th. Logisch-kombinatorische Untersuchungen ¨uber die Erf¨ullbarkeit und Beweisbarkeit mathematischen S¨atze nebst einem Theoreme ¨uber dichte Mengen. Videnskapsselskapets Skrifer, I. Matem.naturv. klasse I. 1920, no. 4, pp. 1–36. Reprinted in: Selected works in logic by Th. Skolem, ed. J.E. Fenstad. Oslo, Universitetforlaget, 1970, pp. 103–136.
  15. Sudoplatov S.V. Basedness of stable theories and properties of countable models with powerful types. Cand. sci. diss. Novosibirsk, 1990, 142 p. (in Russian)
  16. Sudoplatov S.V. Classification of countable models of complete theories. Novosibirsk, Publishing House of Novosibirsk State Technical University, 2018.
  17. Sudoplatov S.V. Combinations of structures. Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2018, vol. 24, pp. 82–101. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.24.82
  18. Sudoplatov S.V. Approximations of theories. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2020, vol. 17, pp. 715-725. https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.049
  19. Sudoplatov S.V. Ranks for families of theories and their spectra. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, vol. 42, no. 12, pp. 2959-2968. https://doi.org/10.1134/S1995080221120313
  20. Sudoplatov S.V. Approximating formulae. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2024, vol. 21, no. 1, pp. 463–480. https://doi.org/10.33048/semi.2024.21.033

Полная версия (english)