рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2025. Том 51

Точные формулы приращения целевого функционала в задаче оптимального управления линейным уравнением баланса

Автор(ы)
Е. В. Гончарова1, Н. И. Погодаев1, М. В. Старицын1

1Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Иркутск, Российская Федерация

Аннотация
Изучается линейная по состоянию задача оптимального управления транспортным уравнением с источником на пространстве конечных знакопеременных борелевских мер. Для этой задачи впервые получен вариант классического принципа Понтрягина (в форме принципа минимума) и предложен подход к его усилению на основе нестандартной процедуры вариационного анализа — точных формул приращения, представляющих разность значений целевого функционала на любой паре допустимых управлений, без пренебрежения остаточными членами каких-либо разложений. Подход опирается на стандартную двойственность и приводит к серии необходимых условий оптимальности неклассического, «позиционного» типа. Конструктивным следствием позиционных условий оказывается метод последовательных приближений, свободный от параметров «глубины спуска».
Об авторах

Гончарова Елена Владимировна, канд. физ.-мат. наук, доц., вед. науч. сотр., Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Иркутск, 664033, Российская Федерация, goncha@icc.ru

Погодаев Николай Ильич, канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр., Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Иркутск, 664033, Российская Федерация, nickpogo@gmail.com

Старицын Максим Владимирович, канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр., Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Иркутск, 664033, Российская Федерация, starmax@icc.ru

Ссылка для цитирования
Гончарова Е. В., Погодаев Н. И., Старицын М. В. Точные формулы приращения целевого функционала в задаче оптимального управления линейным уравнением баланса // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2025. Т. 51. C. 3–20. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.51.3
Ключевые слова
уравнение баланса, оптимальное управление, позиционные управления, необходимые условия оптимальности, методы спуска
УДК
517.977
MSC
49J20
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2025.51.3
Литература
  1. Ambrosio L., Gigli N., Savare G. Gradient Flows: In Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Lectures in Mathematics ETH Zurich. Birkhauser, Boston, 2005.
  2. Ambrosio L., Mainini E., Serfaty S. Gradient flow of the Chapman-RubinsteinSchatzman model for signed vortices. Ann. Inst. H. Poincar´e Anal. Non Lin´eaire, 2011, vol. 28, no. 2, pp. 217–246. https://doi.org/10.1016/j.anihpc.2010.11.006
  3. Antonik V.G., Srochko V.A. The projection method in linear-quadratic problems of optimal control. Comput. Math. Math. Phys. 1998, vol. 38, no. 4, pp. 543–551. [Transl. from Russian (Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 1998, vol. 38, no. 4, pp. 564– 572)]
  4. Arguchintsev A.V., Dykhta V.A., Srochko V.A. Optimal control: nonlocal conditions, computational methods, and the variational principle of maximum. Russian Math.. 2009, vol. 53, no. 1, pp. 1–35. https://doi.org/10.3103/S1066369X09010010 [Transl. from Russian (Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 2009, no. 1, pp. 3–43)]
  5. Arguchintsev A.V., Poplevko V.P. Optimal control of initial conditions in canonical hyperbolic system of the first order based on nonstandard increment formulas. Russian Math., 2008, vol. 52, no. 1, pp. 1–7. https://doi.org/10.3103/S1066369X08010015 [Transl. from Russian (Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 2008, no. 1, pp. 3–10)]
  6. Aubin J. P., Cellina, A. Differential Inclusions. Set-Valued Maps and Viability Theory. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo, 1984.
  7. Aubin J. P., Frankowska H. Set-valued Analysis. Set-Valued Analysis. Birkhauser, Boston, 1990.
  8. Averboukh Y. Nonlocal Balance Equation: Representation and Approximation of Solution. J. Dyn. Diff. Equat., 2024. https://doi.org/10.1007/s10884-024-10373-8
  9. Averboukh Y., Khlopin D. Pontryagin maximum principle for the deterministic mean-field type optimal control problem via the Lagrangian approach, 2022. https://doi.org/10.48550/arXiv.2207.01892
  10. Bongini M., Fornasier M., Rossi F., Solombrino F. Mean-field Pontryagin maximum principle. J. Optim. Theory Appl., 2017, vol. 175, pp. 1–38. https://doi.org/10.1007/s10957-017-1149-5
  11. Bonnet B. A Pontryagin maximum principle in Wasserstein spaces for constrained optimal control problems. ESAIM Control Optim. Calc. Var., 2019, vol. 25, no. 52. https://doi.org/10.1051/cocv/2019044
  12. Bonnet B., and Frankowska H. Necessary optimality conditions for optimal control problems in Wasserstein spaces. Appl. Math. Optim., 2021, vol. 84, pp. 1281–1330. https://doi.org/10.1007/s00245-021-09772-w
  13. Buldaev A.S. Projection procedures for the nonlocal improvement of linearly controlled processes. Russian Math.. 2004, vol. 48, no. 1, pp. 16–22. [Transl. from Russian (Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 2004, no. 1, pp. 18–24)]
  14. Cardaliaguet P., Delarue F., Lasry J.-M., Lions P.-L. The master equation and the convergence problem in mean field games. Ann. Math. Stud., 2019, vol. 201, Princeton University Press, Princeton, NJ.
  15. Carrillo J. A., Fornasier M., Toscani G., Vecil F. Particle, kinetic, and hydrodynamic models of swarming. In Mathematical modeling of collective behavior in socio-economic and life sciences. Birkhauser, Boston, MA, 2010, pp. 297–336. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4946-3_12
  16. Colombo R.M., Herty M., Mercier M. Control of the continuity equation with a non local flow. ESAIM Control Optim. Calc. Var., 2011, vol. 17, no. 2, pp. 353–379. https://doi.org/10.1051/cocv/2010007
  17. Cristiani E., Frasca P., Piccoli B. Effects of anisotropic interactions on the structure of animal groups. Journal of mathematical biology, 2011, vol. 62, pp. 569–88. https://doi.org/10.1007/s00285-010-0347-7
  18. Cucker F., Smale S. Emergent behavior in flocks. IEEE Trans. Autom. Control, 2007, vol. 52, no. 5, 852–862. https://doi.org/10.1109/TAC.2007.895842
  19. Dykhta V.A. Feedback Minimum Principle: Variational Strengthening of the Concept of Extremality in Optimal Control. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2022, vol. 41, pp. 19–39. (in Russian) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.41.19
  20. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-Theoretical Control Problems, Springer Verlag, Berlin, 1988.
  21. Mainini E. On the signed porous medium flow, Netw. Heterog. Media, 2012, vol. 7, no. 3, pp. 525–541. http://cvgmt.sns.it/paper/1902/
  22. Piccoli B., Rossi F. Measure-theoretic models for crowd dynamics. In Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology. Springer, Basel, 2018, pp. 137–165. https://doi.org/10.1007/978-3-030-05129-7_6
  23. Pogodaev N. Program strategies for a dynamic game in the space of measures. Optim. Lett., 2019, vol. 13, pp. 1913–1925. https://doi.org/10.1007/s11590-018-1318-y
  24.  Pogodaev N., Staritsyn M. Nonlocal balance equations with parameters in the space of signed measures. Sbornik: Mathematics, 2022, vol. 213, no. 1, pp. 69–94. https://doi.org/10.1070/sm9516
  25. Pogodaev N.I., Staritsyn M.V. Exact formulas for the increment of the objective functional and necessary optimality conditions, alternative to Pontryagin’s maximum principle. Matematicheskii Sbornik, 2024, vol. 215, iss. 6, pp. 77– 110. https://doi.org/10.4213/sm9967 (in Russian, to appear in Sbornik Mathematics)
  26. Pontryagin L.S., Boltyanskii V.G., Gamkrelidze R.V., Mishchenko E.F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. New York, John Wiley and Sons, Inc., 1962. [Transl. from Russian (Fizmatgiz, Moscow, 1961)]
  27. Srochko V.A. Iterative methods for solving optimal control problems. Fizmatlit, Moscow, 2000 (in Russian).
  28. Staritsyn M., Pogodaev N., and Lobo Pereira. F. Linear-quadratic problems of optimal control in the space of probabilities. IEEE Control Systems Letters, 2022, vol. 6, pp. 3271–3276. https://doi.org/10.1109/LCSYS.2022.3184257
  29. Staritsyn M.V., Pogodaev N.I., Goncharova E.V. Pontryagin’s Maximum Principle and Indirect Descent Method for Optimal Impulsive Control of Nonlocal Transport Equation. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2023, vol. 46, pp. 66–84. (in Russian) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.46.66

Полная версия (русская)