¹Сибирский федеральный университет, Красноярск, Российская Федерация, anm11@rambler.ru

Ранее для каждой многослойной нейронной сети прямого распространения сигнала (далее нейронная сеть) вводились конечные коммутативные группоиды, которые получили название аддитивные группоиды подсетей. Данные группоиды тесно связаны с подсетями нейронной сети, над которыми они построены. Группоид является моноидом тогда и только тогда, когда он построен над двухслойной нейронной сетью. Ранее для данных группоидов изучались эндоморфизмы и их свойства, а также были построены некоторые эндоморфизмы, но исчерпывающего поэлементного описания не получено. Было показано, что всякий конечный моноид изоморфен некоторому подмоноиду моноида всех эндоморфизмов подходящего аддитивного группоида подсетей для некоторой подходящей нейронной сети.

В работе рассмотрены эндоморфизмы аддитивных группоидов подсетей двухслойных нейронных сетей. Основным результатом исследования является поэлементное описание моноида всех эндоморфизмов аддитивных моноидов подсетей, построенных над двухслойной нейронной сетью. Поэлементное описание получено за счет построения общего вида эндоморфизма. Общий вид эндоморфизма параметризуется эндоморфизмами подходящих булеанов относительно операции объединения. Поэтому изучены эндоморфизмы данных булеанов, в том числе полукольца эндоморфизмов данных булеанов относительно объединения. Кроме того, для описания общего вида эндоморфизма аддитивного моноида подсетей использованы гомоморфизмы одного буалеана в другой (относительно объединения).

1. Глушков В. М. Абстрактная теория автоматов // Успехи математических наук. 1961. Т. 16, № 5. С. 3–62
2. Головко В. А., Краснопрошин В. В. Нейросетевые технологии обработки данных : учеб. Пособие. Минск : Изд-во Беларус. гос. ун-та, 2017. 263 с.
3. Горбань А. Н. Обобщенная аппроксимационная теорема и вычислительные возможности нейронных сетей // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. Т. 1, № 1. С. 11–24.
4. Литаврин А. В. Эндоморфизмы конечных коммутативных группоидов, связанных с многослойными нейронными сетями прямого распределения // Труды ИММ УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1, С. 130–145. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2021-27-1-130-145
5. Литинский Л. Б. О задаче декомпозиции нейронной сети на несколько подсетей // Математическое моделирование. 1996. Т. 8, № 11. С. 119–127.
6. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов. М. : Высшая школа, 1994. 192 с.
7. Слеповичев И. И. Алгебраические свойства абстрактных нейронных сетей // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Меха- ника. Информатика. 2016. Т. 16, № 1. С. 96–103. https://doi.org/10.18500/1816-9791-2016-16-1-96-103
8. Kravtsova O.V. Elementary Abelian 2-subgroups in an Autotopism Group of a Semifield Projective Plane // The Bulletin of the Irkutsk State University. Series Mathematics. 2020. Vol. 32. P. 49–63. doi.org/10.26516/1997-7670.2020.32.49
9. Litavrin A.V. Endomorphisms of some groupoids of order 𝑘 + 𝑘² // TheBulletin of the Irkutsk State University. Series Mathematics. 2020. Vol. 32. P. 64-78. doi.org/10.26516/1997-7670.2020.32.64
10. McCulloh W., Pitts W. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity // Bulletin Math. Biophysics. 1943. N 5. P. 115–133.
11. Tsarkov O.I. Endomorphisms of the semigroup 𝐺2(𝑟) over partially ordered commutative rings without zero divisors and with 1/2 // J. Math. Sci. 2014. Vol. 201, N 4. P. 534–551.
12. Zhuchok Yu.V. Endomorphism semigroups of some free products // J. Math. Sc. 2012. Vol. 187, N 2. P. 146–152.