рус eng
«ИЗВЕСТИЯ ИРКУТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА». СЕРИЯ «МАТЕМАТИКА»
«IZVESTIYA IRKUTSKOGO GOSUDARSTVENNOGO UNIVERSITETA». SERIYA «MATEMATIKA»
«THE BULLETIN OF IRKUTSK STATE UNIVERSITY». SERIES «MATHEMATICS»
ISSN 1997-7670 (Print)
ISSN 2541-8785 (Online)

Список выпусков > Серия «Математика». 2022. Том 39

2-элементы в группе автотопизмов полуполевой проективной плоскости

Автор(ы)
О. В. Кравцова1

1Сибирский федеральный университет, Красноярск, Российская Федерация, ol71@bk.ru

Аннотация
Изучается известная гипотеза Д. Хьюза 1959 г. о разрешимости полной группы автоморфизмов недезарговой полуполевой проективной плоскости конечного порядка (также вопрос 11.76 Н. Д. Подуфалова в Коуровской тетради). Мы применяем метод регулярного множества над полем простого порядка к построению полуполевых проективных плоскостей с циклическими 2-подгруппами автотопизмов, дополняя аналогичные исследования элементарных абелевых 2-подгрупп. Естественное ограничение на порядок 2-элемента получено для полуполевых плоскостей как нечетного, так и четного порядка. Выделена бесконечная серия полуполевых плоскостей, не допускающих подгрупп автотопизмов, изоморфных определенным проективным линейным группам. На основе ранее найденного матричного представления бэровских инволюций уточнен геометрический смысл автотопизмов порядка 4, получено их унифицированное матричное представление, не зависящее от размерности пространства. Построен минимальный контрпример, поясняющий ограничение на порядок плоскости в основном результате. Доказана разрешимость полной группы коллинеаций недезарговой полуполевой плоскости четного порядка с ограничением на ранг, все бэровские подплоскости которой также недезарговы. Основные доказанные результаты являются техническими и необходимы для дальнейшего изучения подгрупп четного порядка в группе автотопизмов конечной недезарговой полуполевой плоскости. Результаты могут быть использованы для изучения полуполевых плоскостей, допускающих подгруппы автотопизмов из списка Д. Г. Томпсона минимальных простых групп.
Об авторах
Кравцова Ольга Вадимовна, канд. физ.-мат. наук, доц., Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, ol71@bk.ru
Ссылка для цитирования
Кравцова О. В. 2-элементы в группе автотопизмов полуполевой проективной плоскости // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2022. Т. 39. C. 96–110. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.39.96
Ключевые слова
полуполевая плоскость, регулярное множество, бэровская инволюция, гомология, автотопизм
УДК
519.145
MSC
51E15, 15A04
DOI
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2022.39.96
Литература
  1. Кравцова О. В. Полуполевые плоскости, допускающие бэровскую инволюцию // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2013. Т. 6, № 2. С. 26–38.
  2. Кравцова О. В., Шевелева И. В. О некоторых 3-примитивных полуполевых плоскостях // Чебышевcкий сборник. 2019. Т. 20, вып. 3. С. 187–203. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-20-3-316-332
  3. Подуфалов Н. Д., Дураков Б. К., Кравцова О. В., Дураков Е. Б. О полуполевых плоскостях порядка 162 // Сибирско-математический журнал. 1996. Т. 37, № 3. С. 616–623.
  4. Dickson L. E. Linear algebras in which division is always uniquely possible // Trans. Amer. Math. Soc. 1906. Vol. 7, N 3. P. 370–390.
  5. Hughes D. R., Piper F. C. Projective planes. New-York : Springer-Verlag Inc.,1973. 324 p.
  6. Kravtsova O. V. On automorphisms of semifields and semifield planes // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2016. Vol. 13. P. 1300–1313. https://doi.org/10.17377/semi.2016.13.102
  7. Kravtsova O. V. Semifield planes of odd order that admit a subgroup of autotopisms isomorphic to 𝐴4 // Russian Mathematics. 2016. Vol. 60, N 9. P. 7–22. https://doi.org/10.3103/S1066369X16090024
  8. Kravtsova O. V. Elementary abelian 2-subgroups in an autotopism group of a semifield projective plane // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2020. Т. 32. С. 49–63. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.32.49
  9. Luneburg H. Translation planes. New-York : Springer-Verlag, 1980.
  10. The Kourovka Notebook: Unsolved Problems in Group Theory / eds.: V. D. Mazurov, E. I. Khukhro / Sobolev Inst. Math. 16th ed. Novosibirsk, 2006.
  11. Moorhouse G. E. 𝑃𝑆𝐿(2, 𝑞) as a collineation group of projective planes of small orders // Geom. Dedicata. 1989. Vol. 31, N 1. P. 63–88.
  12. Podufalov N. D. On spread sets and collineations of projective planes // Contem. Math. 1992. Vol. 131, part 1. P. 697–705.

Полная версия (english)