¹Государственный университет имени Сунь Ятсена, Гаосюн, Тайвань

²Университет Ишоу, Гаосюн, Тайвань

³Чжэцзянский технологический университет, Ханчжоу, Китай

⁴Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова СО РАН, Иркутск, Российская Федерация

⁵Университет Чунг Хуа, Синьчжу, Тайвань, mglee@chu.edu.tw

Двойственные методы часто используются для решения проблемы сингулярности и плохой обусловленности метода граничных элементов (МГЭ). В первой части работы изучаются теоретические аспекты данной проблемы, включая анализ ошибок и исследование устойчивости. Так, авторами был выполнен анализ уравнения Лапласа в эллиптических областях с эллиптическими отверстиями. Для того чтобы преодолеть алгоритмическую сингулярность (degenerate scale problem) в задаче Дирихле, второй и первый виды МНП использовались для внешних и внутренних границ одновременно. Данный подход мы назвали методом двойственного нулевого поля (ДМНП).

Настоящая статья является второй частью исследования. Здесь представлены результаты вычислительных экспериментов для вырожденных моделей эллиптической области с одним эллиптическим отверстием при 𝑎+𝑏 = 2 для проверки полученного теоретического анализа. Также для сравнения результатов разработан метод на основе коллокации Треффца (CTM). И DNFM, и CTM показывают отличные результаты. Их скорость сходимости одинакова, при этом устойчивость CTM превосходна и позволяет достичь постоянных чисел обусловленности, Cond = 𝑂(1)

Ли Зи-Кай, проф., Государственный университет имени Сунь Ятсена, Тайвань, 80424, г. Гаосюн, zicili1@gmail.com

Хуанг Хунг-Цай, профессор, Университет Ишоу, Тайвань, 84001, Гаосюн, huanght@isu.edu.tw

Жанг Ли-Пинг, проф., Чжэцзянский технологический университет, Китай, 310023, г. Ханчжоу, zhanglp@zjut.edu.cn

Лемперт Анна Ананьевна, канд. физ.-мат. наук, Институт динамики систем и теории управления имени В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, lempert@icc.ru

Ли Минг-Гонг, проф., Университет Чунг Хуа, Тайвань, 30012, г. Синьчжу, mglee@chu.edu.tw

1. Chen J.T., Han H., Kuo S.R., Kao S.K. Regularization for ill-conditioned systems of integral equation of first kind with logarithmic kernel. Inverse Problems in Science and Engineering, 2014, vol. 22, no. 7, pp. 1176-1195. https://doi.org/10.1080/17415977.2013.856900
2. Chen J.T., Hong H.K., Review of dual finite element methods with emphasis on hypersingular integrals and divergent series. Appl. Mech. Rev., 1999, vol. 52, no. 1, pp. 17-33. https://doi.org/10.1115/1.3098922
3. Chen J.T., Lee Y.T., Chang Y.L., Jian J. A self-regularized approach for rank-deficient systems in the BEM of 2D Laplace problems. Inverse Problems in Science and Engineering, 2017, vol. 25, no. 1, pp. 89-113. https://doi.org/10.1080/17415977.2016.1138948
4. Kuo S.R., Kao S.K., Huang Y.L., Chen J.T. Revisit of the degenerate scale for an infinite plane problem containing two circular holes using conformal mapping. Applied Mathematics Letters, 2019, vol. 92, pp. 99-107. https://doi.org/10.1016/j.aml.2018.11.023
5. Lee M.G., Li Z.C., Zhang L.P., Huang H.T., Chiang J.Y. Algorithm singularity of the null-field method for Dirichlet problems of Laplace’s equation in annular and circular domains. Eng. Anal. Bound. Elem., 2014, vol. 41, pp. 160-172. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2014.01.013
6. Li Z.C., Chiang J.Y., Huang H.T., Lee M.G. The new interior field method for Laplace’s equation on circular domains with circular holes. Eng. Anal. Bound. Elem., 2016, vol. 67, pp. 173-185. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2016.03.006
7. Li Z.C., Huang H.T., Wei Y., Cheng A.H.-D. Effective Condition Number for Numerical Partial Differential Equations. Beijing, Science Press, 2014, 286 p.
8. Li Z.C., Lu T.T., Hu H.Y., Cheng A.H.-D. Trefftz and Collocation Methods. Southampton, Boston, WIT press, 2008, 432 p.
9. Lee M.G., Zhang L.P., Li Z.C., Kazakov A.L. Dual Null Field Method for Dirichlet Problems of Laplace’s Equation in Circular Domains with Circular Holes. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2021, vol. 19(1), pp. 393-422. https://doi.org/10.33048/semi.2021.18.028
10. Li Z.C., Huang H.T., Zhang L.P., Lempert A.A., Lee M.G. Analysis of Dual Null Field Methods for Dirichlet Problems of Laplace’s Equation in Circular Domains with Circular Holes: Bypassing the degenerate scales. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, submitted, June 2021.
11. Li Z.C., Zhang L.P., Lee M.G., Interior field methods for Neumann problems of Laplace’s equation in elliptic domains, Comparisons with degenerate scales. Eng. Anal. Bound. Elem, 2016, vol. 71, pp. 190-202. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2016.07.003
12. Li Z.C., Zhang L.P., Wei Y., Lee M.G., Chiang J.Y. Boundary methods for Dirichlet problems of Laplace’s equation in elliptic domains with elliptic holes. Eng. Anal. Bound. Elem., 2015, vol. 61, pp. 92-103. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2015.07.001
13. Morse P.M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics. New York, McGraw-Hill, Inc., 1953, 997 p.
14. Portela A., Aliabadi M.H., Rooke D.P. The dual boundary element method: effective implementation for crack problems. Int. J. Numer. Methods Engrg., 1992, vol. 33, pp. 1269–1287. https://doi.org/10.1002/nme.1620330611
15. Krni´c L. Types of Bases in the Algebra of Logic. Glasnik Matematicko-Fizicki i Astronomski, series 2, 1965, vol. 20, pp. 23–32.
16. Lau D., Miyakawa M. Classification and enumerations of bases in 𝑃_𝑘(2). Asian-European Journal of Mathematics, 2008, vol. 1, no. 2, pp. 255-282.
17. Miyakawa M., Rosenberg I., Stojmenovi´c I. Classification of Three-valued logical functions preserving 0. Discrete Applied Mathematics, 1990, vol. 28, pp. 231-249. https://doi.org/10.1016/0166-218X(90)90005-W