Работа посвящена интегрированию нагруженного модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза в классе быстроубывающих функций. Хорошо известно, что нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие в коэффициентах или в правой части какие-либо функционалы от решения, в частности значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности. В настоящей работе рассматривается задача Коши для нагруженного модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза. Поставленная задача решается с помощью метода обратной задачи рассеяния, т. е. выводится эволюция данных рассеяния несамосопряженного оператора Дирака, потенциал которого является решением нагруженного модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза в классе быстроубывающих функций. Приведен конкретный пример, иллюстрирующий применение полученных результатов.

Хасанов Акназар Бекдурдиевич, д-р физ.-мат. наук, проф., Самаркандский государственный университет, Республика Узбекистан, 140104, г. Самарканд, Университетский бульвар, 15, тел.: (99866) 239-14-36, email: ahasanov2002@mail.ru

Хоитметов Умид Азадович, канд. физ.-мат. наук, доц., Хорезмское отделение Института математики им. В. И. Романовского, Ургенчский государственный университет, Республика Узбекистан, 220100, г. Ургенч, ул. Х. Алимджана, 14, тел.: (99862)224-67-00, email: x.umid@urdu.uz

Khasanov A.B., Hoitmetov U.A. On Integration of the Loaded mKdV Equation in the Class of Rapidly Decreasing Functions // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2021. Т. 38. С. 19-35. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.38.19

1. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М. : Мир, 1987. 479 с.
2. Блащак В. А. Аналог обратной задачи теории рассеяния для несамосопряженного оператора. I // Дифференциальные уравнения. 1968. T. 4, № 8. С. 1519–1533.
3. Демонтис Ф. Точные решения модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза // Теоретическая и математическая физика. 2011. Т. 168, № 1. С. 35–48.
4. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М. : Мир, 1988. 694 с.
5. Захаров В. Е., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Полное описание решений sin-Gordon уравнения // Доклады Академии наук СССР. 1974. Т. 219, № 6. С. 1334–1337.
6. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1971. Т. 61, № 1. С. 118–134.
7. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 694–716.
8. Мамедов К. А. Об интегрировании модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза с источником интегрального типа // Доклады Академии наук РУз. 2006. № 2. С. 24–28.
9. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 1. С. 86–94.
10. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М. : Высшая школа, 1995. 304 с.
11. Уразбоев Г. У. О модифицированном уравнении КдФ с самосогласованным источником, соответствующим кратным собственным значениям // Доклады Академии наук РУз. 2005. № 5. С. 11–14.
12. Уразбоев Г. У., Хоитметов У. А., Бабаджанова А. К. Интегрирование матричного модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза с источником интегрального типа // Теоретическая и математическая физика. 2020. Т. 203, № 3. С. 351–364.
13. Фролов И. С. Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси // Доклады Академии наук СССР. 1972. Т. 207, № 1. С. 44–47.
14. Хасанов А. Б. Об обратной задачи теории рассеяния для системы двух несамосопряженных дифференциальных уравнений первого порядка // Доклады Академии наук СССР. 1984. Т. 277, № 3. С. 559–562.
15. Хасанов А. Б., Уразбоев Г. У. Метод решения уравнения мКдФ с самосогласованным источником // Узбекский математический журнал. 2003. № 1. С. 69–75.
16. Хасанов А. Б., Хоитметов У. А. Интегрирование уравнения Кортевега – де Фриза с нагруженным членом в классе быстроубывающих функций // Доклады Академии наук РУз. 2021. № 1. С. 13–18.
17. Ablowitz M. J., Kaup D. J., Newell A. C., Segur H. The Inverse Scattering Transform - Fourier Analysis for Nonlinear Problems // Studies in Applied Mathematics. 1974. Vol. 53, N 4. P. 249–315. http://dx.doi.org/10.1002/sapm1974534249
18. Chen X., Zhang Y., Liang J., Wang R. The 𝑁-soliton solutions for the matrix modified Korteweg-de Vries equation via the Riemann-Hilbert approach // Eur. Phys. J. Plus. 2020. Vol. 135. Art. N 574. https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-020-00575-6
19. Gardner C. S., Greene I. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for Solving the Korteweg-de Vries Equation // Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 19. P. 1095–1097. https://doi.org/10.1103/Phys RevLett.19.1095
20. Hoitmetov U. A. Integration of the loaded Korteweg-de Vries equation in the class of rapidly decreasing complex-valued functions // Uzbek Math. Journal. 2020. N 4. P. 44–52. https://doi.org/10.29229/uzmj.2020-4-6
21. Khater A. H., El-Kalaawy O. H., Callebaut D. K. Backlund Transformations and Exact Solutions for Alfven Solitons in a Relativistic Electron–Positron Plasma // Physica Scripta. 1998. Vol. 58. N 6. P. 545—548. https://doi.org/10.1088/0031-8949/58/6/001
22. Kundu A., Sahadevan R., Nalinidevi L. Nonholonomic deformation of KdV and mKdV equations and their symmetries, hierarchies and integrability // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. Vol. 42, N 11. Art. N 115213. https://doi.org/10.1088/1751-8113/42/11/115213
23. Lax P. D. Integrals of Nonlinear Equations of Evolution and Solitary Waves // Comm. Pure and Appl. Math. 1968. Vol. 21, N 5. P. 467–490. https://doi.org/10.1002/cpa.3160210503
24. Mamedov K. A. Integration of mKdV Equation with a Self-Consistent Source in the Class of Finite Density Functions in the Case of Moving Eigenvalues // Russian Mathematics. 2020. Vol. 64. P. 66—78. https://doi.org/10.3103/S1066369X20100072
25. Matsutani S., Tsuru H. Reflectionless Quantum Wire // Journal of the Physical Society of Japan. 1991. Vol. 60, N 11. P. 3640–3644. https://doi.org/10.1143/JPSJ.60.3640
26. Sasa N, Satsuma J. New-type of soliton solutions for a higher-order nonlinear Schrodinger equation // J. Phys. Soc. Jpn. 1991. Vol. 60, N 2. P. 409–417. https://doi.org/10.1143/JPSJ.60.409
27. Schief W. An infinite hierarchy of symmetries associated with hyperbolic surfaces // Nonlinearity. 1995. Vol. 8, N 1. P. 1–9. https://doi.org/10.1088/0951-7715/8/1/001
28. Tian S.F. Initial-boundary value problems of the coupled modified Kortewegde Vries equation on the half-line via the Fokas method // J. Phys. A: Math. Theor. 2017. Vol. 50, N 39. Art. N 395204. https://doi.org/10.1088/1751-8121/aa825b
29. Urazboev G.U., Babadjanova A.K. On the Integration of the Matrix Modified Korteweg-de Vries Equation with a Self-Consistent Source // Tamkang Journal of Mathematics. 2019. Vol. 50, N 3. P. 281—291. https://doi.org/10.5556/j.tkjm.50.2019.3355
30. Wadati M. The exact solution of the modified Korteweg-de Vries equation // J. Phys. Soc. Japan. 1972. Vol. 32. P. 1681. https://doi.org/10.1143/JPSJ.32.1681
31. Wu J., Geng X. Inverse scattering transform and soliton classification of the coupled modified Korteweg-de Vries equation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol. 53. P. 83–93. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2017.03.022
32. Yajima N., Oikawa M. A class of exactly solvable nonlinear evolution equations // Pro. Theo. Phys. 1975. Vol. 54, N 5. P. 1576–1577. https://doi.org/10.1143/PTP.54.1576
33. Zhang D.-J., Wu H. Scattering of Solitons of Modified KdV Equation with Selfconsistent Sources // Commun. Theor. Phys. 2008. Vol. 49, N 4. P. 809–814. https://doi.org/10.1088/0253-6102/49/4/02
34. Zhang G., Yan Z. Focusing and defocusing mKdV equations with nonzero boundary conditions: Inverse scattering transforms and soliton interactions // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2020. Vol. 410. Art. N 132521. https://doi.org/10.1016/j.physd.2020.132521