Двойственные методы часто используются для решения проблемы сингулярности и плохой обусловленности метода граничных элементов (МГЭ). В статье усилия авторов направлены на изучение теоретических аспектов данной проблемы, включая анализ ошибок и исследование устойчивости, чтобы заполнить пробел между теорией и вычислительным экспериментом. Ранее авторами выполнен анализ уравнения Лапласа в круговых областях с круговыми отверстиями, а в настоящей статье рассматриваются эллиптические области с эллиптическими отверстиями. Получены явные алгебраические уравнения первого и второго вида метода нулевого поля (МНП) и метода внутреннего поля (MВП). Традиционно первый и второй виды МНП используются соответственно для задач Дирихле и Неймана. Чтобы преодолеть алгоритмическую сингулярность в задаче Дирихле, второй и первый виды МНП используются для внешних и внутренних границ одновременно. Такой подход называется методом двойственного нулевого поля (ДМНП). В результате проведенного исследования достигнуты быстрая сходимость и хорошая устойчивость ДМНП. Данная статья является первой частью исследования и касается теоретических аспектов, вторая часть будет посвящена вычислительным экспериментам.

Ли Зи-Кай, проф., Государственный университет имени Сунь Ятсена, Тайвань, Гаосюн, 80424, Лиенхай-роуд, 70, e-mail: zicili1@gmail.com

Хуанг Хунг-Цай, проф., Университет Ишоу, Тайвань, Гаосюн, 84001, Сюэчэнроуд, 1, e-mail: huanght@isu.edu.tw

Жанг Ли-Пинг, доц., Чжэцзянский технологический университет, Китай, Ханчжоу, 310023, Люхэроуд, 288, e-mail: zhanglp@zjut.edu.cn

Лемперт Анна Ананьевна, канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, Иркутск, 664033, ул. Лермонтова, 134, tel.:+7(3952)453-030, e-mail: lempert@icc.ru

Ли Минг-Гонг, проф., Университет Чунг Хуа, Тайвань, Синьчжу, 30012, Секция 2, Уфу-роуд, 707, email: mglee@chu.edu.tw

Li Z.C., Huang H.T., Zhang L.P., Lempert A.A., Lee M.G. Analysis of Dual Null Field Methods for Dirichlet Problems of Laplace’s Equation in Elliptic Domains with Elliptic Holes: Bypassing Degenerate Scale // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2021. Т. 37. С. 47-62. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.37.47

1. Chen J.T., Han H., Kuo S.R., Kao S.K. Regularization for ill-conditioned systems of integral equation of first kind with logarithmic kernel. Inverse Problems in Science and Engineering, 2014, vol. 22, no. 7, pp. 1176-1195. https://doi.org/10.1080/17415977.2013.856900
2. Chen J.T., Hong H.K. Review of dual finite element methods with emphasis on hypersingular integrals and divergent series. Appl. Mech. Rev., 1999, vol. 52, no. 1, pp. 17-33. https://doi.org/10.1115/1.3098922
3. Chen J.T., Lee Y.T., Chang Y.L., Jian J. A self-regularized approach for rank-deficient systems in the BEM of 2D Laplace problems. Inverse Problems in Science and Engineering, 2017, vol. 25, no. 1, pp. 89-113. https://doi.org/10.1080/17415977.2016.1138948
4. Hong H.K., Chen J.T. Derivations of integral equations of elasticit. J. of Engineering Mechanics, 1988, vol. 114, pp. 1028-1044.
5. Lee M.G., Li Z.C., Zhang L.P., Huang H.T., Chiang J.Y. Algorithm singularity of the null-field method for Dirichlet problems of Laplace’s equation in annular and circular domains. Eng. Anal. Bound. Elem., 2014, vol. 41, pp. 160-172. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2014.01.013
6. Lee M.G., Zhang L.P., Li Z.C., Kazakov A.L. Dual Null Field Methods for Dirichlet Problems of Laplace’s Equation in Circular Domains with Circular Holes. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2021, vol. 19, no. 1, pp. 393-422. https://doi.org/10.33048/semi.2021.18.028
7. Li Z.C., Mathon R., Sermer P. Boundary methods for solving elliptic problem with singularities and interfaces.SIAM J. Numer. Anal., 1987, vol. 24, pp. 487-498. https://doi.org/10.1137/0724035
8. Li Z.C., Zhang L.P., Lee M.G. Interior field methods for Neumann problems of Laplace’s equation in elliptic domains, Comparisons with degenerate scales. Eng. Anal. Bound. Elem, 2016, vol. 71, pp. 190-202. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2016.07.003
9. Li Z.C., Zhang L.P., Wei Y., Lee M.G., Chiang J.Y. Boundary methods for Dirichlet problems of Laplace’s equation in elliptic domains with elliptic holes. Eng. Anal. Bound. Elem., 2015, vol. 61, pp. 92-103. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2015.07.001
10. Morse P.M., Feshbach H. Methods of Theoretical Physics. New York, McGraw-Hill, Inc., 1953, 997 p.
11. Portela A., Aliabadi M.H., Rooke D.P. The dual boundary element method: effective implementation for crack problems. Int. J. Numer. Methods Engrg., 1992, vol. 33, pp. 1269-1287. https://doi.org/10.1002/nme.1620330611
12. Zhang L.P., Li Z.C., Lee M.G., Wei Y. Boundary methods for mixed boundary problems of Laplace’s equation in elliptic domains with elliptic holes. Eng. Anal. Bound. Elem., 2016, vol. 63, pp. 92-104. https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2015.10.010