Рассматривается система нелинейных параболических уравнений второго порядка, описывающая тепломассоперенос в бинарной жидкой смеси. Специфика нелинейности такова, что система имеет тривиальное решение, на котором ее параболический тип вырождается. Данное обстоятельство позволяет рассматривать класс решений типа диффузионных волн, распространяющихся по нулевому фону с конечной скоростью. В работе основное внимание уделено двум пространственно-симметричным случаям, когда одна из двух независимых переменных есть время, а вторая — расстояние до некоторой точки или прямой. Доказана теорема существования и единственности решения типа диффузионной волны с аналитическими составляющими. Решение строится в виде степенного ряда с рекуррентно определяемыми коэффициентами. Сходимость рядов доказывается методом мажорант. В одном частном случае проведена редукция рассматриваемой задачи к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, наследующей все специфические особенности исходной. Выписана форма точных решений при экспоненциальном и степенном фронтах. Таким образом, удалось распространить результаты, ранее полученные для нелинейной параболической системы «реакция – диффузия» в плоскосимметричном виде, на более общие случаи цилиндрической и сферической симметрии. Параболические уравнения и системы часто лежат в основе моделей популяционной динамики. Такое моделирование позволяет выявлять свойства популяций и прогнозировать изменение численности. Полученные результаты, в частности, могут быть интересны с точки зрения математического моделирования популяционной динамики байкальских микроорганизмов.

Казаков Александр Леонидович, д-р физ.-мат. наук, проф. РАН, главный научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134; ведущий научный сотрудник, Институт машиноведения УрО РАН, Российская Федерация, Екатеринбург, 620049, ул. Комсомольская, 34, тел.: (3952)453-033, e-mail: kazakov@icc.ru

Кузнецов Павел Александрович, канд. физ.-мат. наук, младший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134 тел.: (3952)453-107, email: kuznetsov@icc.ru

Kazakov A.L., Kuznetsov P.A. Analytical Diffusion Wave-type Solutions to a Nonlinear Parabolic System with Cylindrical and Spherical Symmetry // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2021. Т. 37. С. 31-46. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.37.31

1. Arguchintsev A.V., Poplevko V.P. An optimal control problem by a hyperbolic system with boundary delay. The Bulletin of Irkutsk State University. Series: Mathematics, 2021, vol. 35, pp. 3-17. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.35.3
2. Bergman T.L., Lavine A.S., Incropera F.P., DeWitt D.P. Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons, 2011, 992 p.
3. Filimonov M.Yu. Representation of solutions of boundary value problems for nonlinear evolution equations by special series with recurrently caculated coefficients. Journal of Physics: Conference Series, 2019, art. no. 012071. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1268/1/012071
4. Gambino G., Lombardo M.C., Sammartino M., Sciacca V. Turing pattern formation in the Brusselator system with nonlinear diffusion. Physical Review E, 2013, vol. 88, art. no. 042925. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.88.042925
5. Kazakov A.L. On exact solutions to a heat wave propagation boundaryvalue problem for a nonlinear heat equation. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2019, vol. 16, pp. 1057-1068. https://doi.org/10.33048/semi.2019.16.073 (in Russian)
6. Kazakov A.L., Kuznetsov P.A., Lempert A.A. Analytical solutions to the singular problem for a system of nonlinear parabolic equations of the reaction-diffusion type. Symmetry, 2020, vol. 12, no. 6, art. no. 999. https://doi.org/10.3390/SYM12060999
7. Kazakov A.L., Kuznetsov P.A., Lempert A.A. On construction of heat wave for nonlinear heat equation in symmetrical case. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2015, vol. 11, pp. 39-53. (in Russian)
8. Kazakov A.L., Orlov Sv.S. On some exact solutions of the nonlinear heat equation. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2016, vol. 22, no. 1, pp. 112-123. (in Russian)
9. Kazakov A.L., Orlov Sv.S., Orlov S.S. Construction and study of exact solutions to a nonlinear heat equation. Siberian Mathematical Journal, 2018, vol. 59, no. 3, pp. 427–441. https://doi.org/10.1134/S0037446618030060
10. Kazakov A.L., Spevak L.F. Boundary element method and power series method for onedimensional non-linear filtration problems. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2012, vol. 5, no. 2, pp. 2-17. (in Russian)
11. Murray J. Mathematical biology: I. An introduction. Interdisciplinary applied mathematics, vol. 17. New York, Springer, 2002, 575 p.
12. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of nonlinear partial differential equations. New York, Chapman and Hall/CRC, 2003, 840 p. https://doi.org/10.1201/9780203489659
13. Samarskii A.A., Galaktionov V.A., Kurdyumov S.P., Mikhailov A.P. Blow-up in quasilinear parabolic equations. Walter de Gruyte Berlin, New-York, 1995, 554 p. https://doi.org/10.1515/9783110889864
14. Sidorov A.F. Izbrannye trudy: Matematika. Mekhanika [Selected Works: Mathematics. Mechanics]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001, 576 p. (in Russian)
15. Stepanova I.V. Group analysis of variable coefficients heat and mass transfer equations with power nonlinearity of thermal diffusivity. Applied Mathematics and Computation, 2019, vol. 343, pp. 57-66. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.09.036
16. Vazquez J.L. The porous medium equation: mathematical theory. Oxford, Clarendon Press, 2007, 648 p. https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198569039.001.0001
17. Zemskov E.P. Turing instability in reaction–diffusion systems with nonlinear diffusion. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2013, vol. 117, no. 4, pp. 764-769. https://doi.org/10.1134/S1063776113120194