Н.В. Бурмашева, Е.Ю. Просвиряков

Рассмотрено точное решение уравнений термодиффузии вязкой несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска при пренебрежении эффектом Дюфора для установившегося сдвигового течения. Обозначено, что редуцированная система определяющих соотношений является нелинейной и переопределенной. Нетривиальное точное решение данной системы ищется в классе Линя – Сидорова – Аристова. Полученное семейство точных решений позволяет описывать установившиеся сдвиговые неоднородные течения. Данный класс позволяет обобщить классические решения Куэтта, Пуазейля и Остроумова – Бириха. Показано, что редуцированная в рамках этого класса система обыкновенных дифференциальных уравнений сохраняет свойства нелинейности и переопределенности. Доказана теорема об условиях разрешимости переопределенной системы, и показано, что при их выполнении решение единственно. Решение переопределенной системы возможно благодаря алгебраическому тождеству, связывающее горизонтальные градиенты скоростей, которые являются линейными функциями от вертикальной координаты. Конструктивное доказательство вычисления гидродинамических полей заключается в последовательном интегрировании полиномов, причем степень полиномов зависит от значений краевых параметров.

Бурмашева Наталья Владимировна, канд. тех. наук, старший научный сотрудник, Институт машиноведения УрО РАН, Российская Федерация, 620049, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34, e-mail: nat_burm@mail.ru

Просвиряков Евгений Юрьевич, д-р физ.-мат. наук, научный сотрудник, Институт машиноведения УрО РАН, Российская Федерация, 620049, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34; профессор, Институт фундаментального образования, Уральский федеральный университет, Российская Федерация, 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19, e-mail: evgen_pros@mail.ru

Burmasheva N.V., Prosviryakov E.Yu. Exact Solutions to the Oberbeck–Boussinesq Equations for Shear Flows of a Viscous Binary Fluid with Allowance Made for the Soret Effect // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2021. Т. 37. С. 17-30. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.37.17

1. Аристов С. Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости : автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 01.02.05. Владивосток, 1990. 303 с.
2. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. О слоистых течениях плоской свободной конвекции // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9, № 4. С. 651–657.
3. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Новый класс точных решений трехмерных уравнений термодиффузии // Теоретические основы химической технологии. 2016. Т. 50, № 3. С. 294–301. https://doi.org/10.1134/S0040579516030027
4. Бекежанова В. Б., Гончарова О. Н. О подходах к решению задачи о деформации межфазной границы в двухслойной системе с испарением // Известия Алтайского государственного университета. 2018. № 1 (99). С. 69–74. https://doi.org/10.14258/izvasu(2018)1-12
5. Бирих Р. В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1966. № 3. С. 69–72.
6. Boussinesq J. Theorie analitique de la chaleur. Vol. 2. Paris : GauthierVillars, 1903. 625 p.
7. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Convective layered flows of a vertically whirling viscous incompressible fluid. Velocity field investigation // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2019. T. 23, № 2. С. 341–360. https://doi.org/10.14498/vsgtu1670
8. Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Термокапиллярная конвекция вертикально завихренной жидкости // Теоретические основы химической технологии. 2020. T. 54, № 1. C. 114–124. https://doi.org/10.1134/S0040579519060034
9. Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Точное решение уравнений Навье – Стокса, описывающее пространственно неоднородные течения вращающейся жидкости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. C. 79–87. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-2-79-87
10. Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Класс точных решений для двумерных уравнений геофизической гидродинамики с двумя параметрами Кориолиса // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2020. Т. 32. С. 33–48. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.32.33
11. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. On Marangoni shear convective flows of inhomogeneous viscous incompressible fluids in view of the Soret effect // Journal of King Saud University — Science. 2020. Vol. 32, Iss. 8. P. 3364–3371. https://doi.org/10.1016/j.jksus.2020.09.023
12. Chandra Reddy P., Raju M. C., Raju G. S. S. MHD natural convective heat generation/absorbing and radiating fluid past a vertical plate embedded in porous medium–an exact solution // Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics. 2018. Vol. 12, N 2. P. 106–127. https://doi.org/10.24874/jsscm.2018.12.02.08
13. Dufour L. Ueber die diffusion der gase durch por¨ose w¨ande und die sie begleitenden temperaturver¨anderungen // Arc. Phys. Nat. Sci. Geneve. 1872. Vol. 45. P. 490–492. https://doi.org/10.1002/andp.18732240311
14. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М. : Наука, 1972.
15. Гончарова О. Н., Резанова Е. В., Люлин Ю. В., Кабов О. А. Моделирование двухслойных течений жидкости и газа с учетом испарения // Теплофизика и аэромеханика. 2015. Т. 22, № 5. С. 655–661.
16. Lavrenteva O. M., Holenberg Y., Nir A. Marangoni and natural convection in a horizontal layer of viscoplastic fluid with concentration dependent yield stress. Exact analytical solutions // Microgravity Sci. Technol. 2009. Vol. 21. P. 59–65. https://doi.org/10.1007/s12217-009-9127-7
17. Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1958. Vol. 1. P. 391–395.
18. Oberbeck A. Uber die warmeleitung der flussigkeiten bei der berucksichtigung der stromungen infolge von temperaturdifferenzen// Annal. Phys. Chem. 1879. Bd. 7, N 6. S. 271–292.
19. Остроумов Г. А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. М. : Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1952. 256 с.
20. Сидоров А. Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // Прикладная механика и техническая физика. 1989. T. 2. C. 34–40.
21. Шефер И. А. Влияние поперечного перепада температур на устойчивость двухслойных течений жидкости с испарением // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2019. № 5. С. 15–25. https://doi.org/10.1134/S0568528119040091
22. Soret C. Sur l’´etat d’`equilibre que prend au point de vue de sa concentration une dissolution saline primitivement homoh´ene dont deux parties sont port´ees a des temp´eratures diff´erentes // Arch. Sci. Phys. Nat. 1879. Vol. 2. P. 48–61.
23. Umavathi J. C., Sheremet M. A., Patil S. L. Soret effects on the mixed convection flow using Robin boundary conditions // Heat Transfer-Asian Research. 2019. https://doi.org/10.1002/htj.21604