Формулы первого порядка отражают информацию о семантических и синтаксических свойствах. Связи между формулами и свойствами определяют их экзистенциальные и универсальные взаимосвязи, которые создают как структурные, так и топологические возможности для характеристик, позволяющих классифицировать семейства семантических и синтаксических объектов. Адаптируются общие подходы, описывающие связи между формулами и свойствами для семейств абелевых групп и их теорий, определяя возможности характеристик формул и свойств, включая значения рангов. Эта адаптация основана на формулах, сводящих каждую формулу к подходящей булевой комбинации формул, определяющих шмелевские инварианты для теорий абелевых групп. Используя эту базируемость, описывается трихотомия возможностей значений ранга для предложений, определяющих окрестности для множества теорий абелевых групп: ранг может быть равен −1, 0 или ∞. Тем самым, окрестности либо конечны, либо содержат континуальное число теорий. Используя трихотомию, показывается, что каждое предложение, определяющее окрестность, либо принадлежит конечному множеству его теорий, либо является генерическим. Также вводится понятие богатого свойства и обобщаются основные результаты для таких свойств.

Павлюк Инесса Ивановна, канд. физ.-мат. наук, старший преподаватель, кафедра алгебры и математической логики, Новосибирский государственный технический университет, Российская Федерация, Новосибирск, 630073, пр. К. Маркса, 20, тел. (383)346-11-66; доц., кафедра информатики и дискретной математики, Новосибирский государственный педагогический университет, Российская Федерация, Новосибирск, 630126, ул. Вилюйская, 28, тел. (383)244-15-86, email: inessa7772@mail.ru

Судоплатов Сергей Владимирович, д-р физ.-мат. наук, доц., ведущий научный сотрудник, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Российская Федерация, Новосибирск, 630090, пр. Академика Коптюга, 4, тел.: (383)3297586; заведующий кафедрой алгебры и математической логики, Новосибирский государственный технический университет, Российская Федерация, Новосибирск, 630073, пр. К. Маркса, 20, тел. (383)346-11-66, email: sudoplat@math.nsc.ru

Pavlyuk In.I., Sudoplatov S.V. Formulas and Properties for Families of Theories of Abelian Groups // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2021. Т. 36. С. 95-109. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.36.95

1. Eklof P. C., Fischer E. R. The elementary theory of abelian groups // Annals of Mathematical Logic. 1972. Vol. 4. P. 115–171. https://doi.org/10.1016/0003- 4843(72)90013-7
2. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М. : Физматлит, 2011. 356 с.
3. Markhabatov N. D., Sudoplatov S. V. Ranks for families of all theories of given languages // Eurasian Mathematical Journal. 2021 (to appear). arXiv:1901.09903v1 [math.LO]. 2019. 9 p.
4. Markhabatov N. D., Sudoplatov S. V. Definable subfamilies of theories, related calculi and ranks // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2020. Vol. 17. P. 700–714. https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.048
5. Мархабатов Н. Д., Судоплатов С. В. Топологии, ранги и замыкания для семейств теорий. I // Алгебра и логика. 2020. Т. 59, № 6. С. 649–679. https://doi.org/10.33048/alglog.2020.59.603
6. Палютин Е. А. Спектр и структура моделей полных теорий // Справочная книга по математической логике / под ред. Дж. Барвайса. М. : Наука, 1982. Ч. 1 : Теория моделей. С. 320–387.
7. Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Families of theories of abelian groups and their closures // Bulletin of Karaganda University. Mathematics. 2018. Vol. 92, N 4. P. 72–78.
8. Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Ranks for families of theories of abelian groups // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2019. Vol. 28. P. 95–112. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.95
9. Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Approximations for theories of abelian groups // Mathematics and Statistics. 2020. Vol. 8, N 2. P. 220–224. https://doi.org/10.13189/ms.2020.080218
10. Poizat B. Groupes Stables. Villeurbanne : Nur Al-Mantiq Wal-Mari’fah, 1987. 216 p.
11. Sudoplatov S. V. Formulas and properties // arXiv:2104.00468v1 [math.LO]. 2021. 16 p.
12. Sudoplatov S. V. Ranks for families of theories and their spectra // Lobachevskii Journal of Mathematics (to appear). arXiv:1901.08464v1 [math.LO]. 2019. 17 p.
13. Sudoplatov S. V. Approximations of theories // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2020. Vol. 17. P. 715–725. https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.049
14. Sudoplatov S. V. Closures and generating sets related to combinations of structures // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2016. Vol. 16. P. 131–144.
15. Sudoplatov S. V. Hierarchy of families of theories and their rank characteristics // The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics. 2020. Vol. 33. P. 80–95. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.33.80
16. Szmielew W. Elementary properties of Abelian groups // Fundamenta Mathematicae. 1955. Vol. 41. P. 203–271. https://doi.org/10.4064/fm-41-2-203-271
17. Tent K., Ziegler M. A Course in Model Theory. Lecture Notes in Logic. N 40. Cambridge : Cambridge University Press, 2012. 248 p.
18. Truss J. K. Generic Automorphisms of Homogeneous Structures // Proceedings of the London Mathematical Society. 1992. Vol. 65, N 3. P. 121–141. https://doi.org/10.1112/plms/s3-65.1.121