Рассматривается задача о движении твердого тела в случае Гесса – Аппельрота, когда уравнения движения кроме трех первых интегралов имеют инвариантное многообразие Гесса. На основе метода Рауса – Ляпунова и его обобщений проводится качественный анализ дифференциальных уравнений на этом многообразии. Выделяются стационарные инвариантные множества указанных уравнений и исследуется их устойчивость по Ляпунову. Под стационарными понимаются множества, состоящие из траекторий уравнений движения и обладающие экстремальным свойством: на этих множествах удовлетворяются необходимые условия экстремума элементов алгебры первых интегралов задачи. В статье предлагается некоторое расширение методики нахождения таких множеств: получение новых множеств из ранее известных, применение “обратного метода Лагранжа“. С использованием этих способов для дифференциальных уравнений на многообразии Гесса найдено семейство инвариантных многообразий, из которого получено несколько инвариантных многообразий более высокой размерности, чем многообразия семейства, и проведен анализ дифференциальных уравнений на одном из них. Найдены положения равновесия и семейства перманентных вращений тела. Для ряда решений получены достаточные условия устойчивости.

Иртегов Валентин Дмитриевич, д-р физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 34, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952) 453092, e-mail: irteg@icc.ru

Титоренко Татьяна Николаевна, канд. тех. наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952) 453012, e-mail: titor@icc.ru

Irtegov V.D., Titorenko T.N. On Invariant Sets for the Equations of Motion of a Rigid Body in the Hess-Appelrot Case // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2020. Т. 33. С. 20-34. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.33.20

1. Беляев А. В. Об общем решении задачи о движении тяжелого твердого тела в случае Гесса // Математический сборник. 2015. Т. 206, № 5. С. 5–34. https://doi.org/10.4213/sm8335
2. Беляев А. В. О представлении решений задачи о движении тяжелого твердого тела в случае Ковалевской в ζ- и ℘- функциях Вейерштрасса и неинтегрируемости в квадратурах случая Гесса // Математический сборник. 2016. Т. 207, № 7. С. 3–28. https://doi.org/10.4213/sm8552
3. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. Москва ; Ижевск : Ин-т компьютерных исследований, 2005. 576 с.
4. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М. : ГИТ-ТЛ, 1953. 287 с.
5. Иртегов В. Д. Инвариантные многообразия стационарных движений и их устойчивость. Новосибирск : Наука, 1985. 144 с.
6. Иртегов В. Д., Титоренко Т. Н. Об инвариантных многообразиях систем с первыми интегралами // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73, № 4. С. 531–537.
7. Ковалев А. М. О движении тела в случае Гесса // Механика твердого тела. 1969. № 1. С. 12–27.
8. Ляпунов А. М. О постоянных винтовых движениях твердого тела в Жидкости // Собрание сочинений. М. : АН СССР, 1954. Т. 1. С.276–319.
9. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М. ; Л. : ОГИЗ, 1947. 392 с.
10. Харламов М. П. Топологический анализ и булевы функции. I. Методы и приложения к классическим системам // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, № 4. С. 769–805.
11. Hess W. Uber die Euler’schen Bewegungsgleichungen und uber eine neue partikulare Losung des Problems der Bewegung eines starren Korpers um einen festen Punkt // Math. Ann. 1890. Vol. 37, N 2. P. 153–181.