Предложен класс точных решений уравнений Навье – Стокса для вращающейся вязкой несжимаемой жидкости. Данный класс позволяет описывать установившиеся сдвиговые неоднородные (т. е. зависящие от нескольких координат выбранной декартовой системы) течения. Вращение характеризуется двумя параметрами Кориолиса, что во вращающейся системе координат приводит к тому, что даже для сдвиговых течений вертикальная скорость оказывается ненулевой. Учет второго параметра Кориолиса также уточняет широко известное гидростатическое условие для течений вращающейся жидкости, используемое при традиционном приближении ускорения Кориолиса. Класс точных решений позволяет обобщить классическое точное решение Экмана. Известно, что течение Экмана предполагает однородное распределение скоростей при пренебрежении вторым параметром Кориолиса, что не позволяет описывать экваториальные противотечения. В статье этот пробел в теоретических исследованиях частично восполняется. Было показано, что редукция базовой системы уравнений, состоящей из уравнений Навье – Стокса и уравнения несжимаемости, для данного класса приводит к переопределенной системе дифференциальных уравнений. Получено условие разрешимости данной системы. Показано, что построенные нетривиальные точные решения в общем случае принадлежат классу квазиполиномов. Однако учет условия совместности, определяющего разрешимость рассматриваемой переопределенной системы, приводит к тому, что пространственные ускорения, характеризующие неоднородность распределение поля скоростей течения, оказываются постоянными величинами. Также приводятся точные решения для всех составляющих поля давления.

Бурмашева Наталья Владимировна, канд. тех. наук, научный сотрудник, сектор нелинейной вихревой гидродинамики, Институт машиноведения УрО РАН, Российская Федерация, 620049, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34; доцент, Институт естественных наук и математики, Уральский федеральный университет, Российская Федерация, 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19, e-mail: nat_burm@mail.ru

Просвиряков Евгений Юрьевич, д-р физ.-мат. наук, заведующий сектором, сектор нелинейной вихревой гидродинамики, Институт машиноведения УрО РАН, Российская Федерация, 620049, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34; профессор, Институт фундаментального образования, Уральский федеральный университет, Российская Федерация, 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19, e-mail: evgen_pros@mail.ru

Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Класс точных решений для двумерных уравнений геофизической гидродинамики с двумя параметрами Кориолиса // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2020. Т. 32. С. 33-48. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.32.33

1. Аристов С. Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости : дис. ... д-ра физ.- мат. наук. Владивосток: ИАПУ, 1990. 303 с.
2. Аристов С. Н., Мясников В. П. Нестационарные трехмерные структуры в приповерхностном слое океана // Доклады Российской академии наук. 1996. Т. 349, № 4. С. 457–467.
3. Аристов С. Н., Князев Д. В., Полянин А. Д. Точные решения уравнений Навье – Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственный переменных// Теоретические основы химической технологии. 2009. T. 43, № 5. C. 547–566.
4. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Неоднородные течения Куэтта // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, № 2. C. 177–182 https://doi.org/10.20537/nd1402004
5. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Крупномасштабные течения завихренной вязкой несжимаемой жидкости // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2015. Вып. 4. С. 50–54.
6. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Новый класс точных решений трехмерных уравнений термодиффузии // Теоретические основы химической технологии. 2016. Т. 50, № 3. С. 294–301. https://doi.org/10.7868/S0040357116030027
7. Аристов С. Н., Фрик П. Г. Динамика крупномасштабных течений в тонких слоях жидкости: Препринт № 146. Свердловск : ИМСС, Уральский научный центр АН СССР, 1987. 48 с.
8. Аристов С. Н., Фрик П. Г. Нелинейные эффекты влияния Экмановского слоя на динамику крупномасштабных вихрей в "мелкой воде"// Прикладная механика и техническая физика. 1991. Т. 32, № 2(186). С. 49–54.
9. Аристов С. Н., Шварц К. Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости. Пермь : Пермский государственный университет, 2006. 153 с. 
10. Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Термокапиллярная конвекция вертикально завихренной жидкости // Теоретические основы химической технологии. 2020. T. 54, № 1. C. 114–124. https://doi.org/10.31857/S0040357119060034
11. Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Точное решение уравнений Навье– Стокса, описывающее пространственно неоднородные течения вращающейся жидкости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. C. 79–87.
12. Горшков А. В., Просвиряков Е. Ю. Конвективное слоистое течение Экмана вязкой несжимаемой жидкости // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2018. Т. 54, № 2. С. 213–220. https://doi.org/10.7868/S0003351518020101
13. Гущин В. А., Рождественская Т. И. Численное исследование явлений, возникающих вблизи кругового цилиндра в течениях стратифицированных жидкостей с небольшими периодами плавучести // Прикладная механика и техническая физика. 2011. Т. 52, № 6. С. 69–76.
14. Зырянов В. Н. Теория установившихся океанских течений. Ленинград : Гидрометеоиздат, 1985. 248 с.
15. Калашник М. В., Чхетиани О. Г. Оптимальные возмущения с нулевой потенциальной завихренностью в модели Иди // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2018. Т. 54. № 5. С. 487–496. https://doi.org/10.1134/S000235151805005X
16. Калашник М. В., Чхетиани О. Г., Чагелишвили Г. Д. Новый класс краевых бароклинных волн и механизм их генерации // Известия российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2018. Т. 54, № 4. C. 361–370 https://doi.org/10.1134/S0002351518040089
17. Методика и результаты измерений турбулентной спиральности в стратифицированном приземном слое / Б. М. Копров, В. М. Копров, О. А. Соленая, О. Г. Чхетиани, Е. А. Шишов // Известия российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2018. Т. 54, № 5. С. 525–537. https://doi.org/10.1134/S0002351518050061
18. Коротаев Г. К., Михайлова Э. Н., Шапиро Н. Б. Теория экваториальных противотечений в Мировом океане. Киев : Наук. думка, 1986. 208 с.
19. Монин А. С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Ленинград : Гидрометеоиздат, 1988. 424 с.
20. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика : в 2 т. М. : Мир, 1984. 398 с.
21. Сидоров А. Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн// Прикладная механика и техническая физика. 1989. T. 2. C. 34-40.
22. Чхетиани О. Г., Вазаева Н. В. Об алгебраических возмущениях в атмосферном пограничном слое // Известия Российской академии наук. Физика атмосферы и океана. 2019. Т. 55. № 5. С. 62-75. https://doi.org/10.31857/S0002-351555562-75
23. Aristov S. N., Nycander J. Convective ow in baroclinic vortices // Journal Physical Oceanography. 1994. Vol. 24, N 9. P. 18411849.
24. Burmasheva N. V., Larina E. A., Prosviryakov E. Yu. Unidirectional convective flows of a viscous incompressible fluid with slippage in a closed layer // AIP Conference Proceedings. 2019. Vol. 2176. P. 030023. https://doi.org/10.1063/1.5135147
25. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Convective layered flows of a vertically whirling viscous incompressible fluid. Velocity field investigation // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2019. T. 23, № 2. P. 341–360. https://doi.org/10.14498/vsgtu1670
26. Couette M. Etudes sur le frottement des liquides // Annales de chimie et de physique. 1890. Vol. 21. P. 433-510.
27. Ekman V. W. On the influence of the Earth’s rotation on ocean currents // Arkiv fo¨r matematik, astronomi och fysik. 1905. Vol. 2, N. 11. P. 1–52.
28. Hoff M., Harlander U. Stewartson–layer instability in a wide-gap spherical Couette experiment: Rossby number dependence // Journal of Fluid Mechanics. 2019. Vol. 878. P. 522–543. https://doi.org/10.1017/jfm.2019.636
29. Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1958. Vol. 1. P. 391–395.
30. Meirelles S., Vinzon S. B. Field observation of wave damping by fluid mud // Marine Geology. 2016. Vol. 376. https://doi.org/10.1016/j.margeo.2016.03.006
31. Patel P. D., Christman P. G., Gardner J. W. Investigation of unexpectedly low field–observed fluid mobilities during some CO2 tertiary floods // SPE Reservoir Engineering. 1987. Vol. 2, N 4. P. 507–513. https://doi.org/10.2118/14308-PA
32. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of exact solutions for ordinary differential equations. 2nd еd. Boca Raton : Chapman& Hall/CRC, 2003. 803 р.
33. Precigout J., Prigent C., Palasse L., Pochon A. Water pumping in mantle shear zones // Nature Communications. 2017. Vol. 8. https://doi.org/10.1038/ncomms15736
34. Privalova V. V., Prosviryakov E. Yu., Simonov M. A. Nonlinear gradient flow of a vertical vortex fluid in a thin layer // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. 2019. Vol. 15, N 3. P. 271–283. https://doi.org/10.20537/nd190306
35. Smagorinsky J. History and progress // The Global Weather Experiment– Perspective on Its Implementation and Exploitation: A Report of the FGGE Advisory Panel to the U.S. Committee for the Global Atmospheric Research Program (GARP), National Academy of Science, 1978. P. 4-12.
36. Smagorinsky J. The beginnings of numerical weather prediction and general circulation modeling: Early recollections // Advances in Geophysics. 1983. Vol. 25. P. 3–37.
37. Smagorinsky J., Phillips N. A. Scientific problems of the global weather experiment // The Global Weather Experiment, Perspectives on Its Implementation and Exploitation: A Report of the FGGE Advisory Panel to the U.S. Committee for the Global Atmospheric Research Program (GARP), National Academy of Science, 1978. P. 13–21.
38. Stefani F., Gerbeth G., Gundrum Th., Szklarski J., Rudiger G., Hollerbach R. Liquid metal experiments on the magnetorotational instability // Magnetohydrodynamics. 2009. Vol. 45, N 2. P. 135–144.
39. Woumeni R. S., Vauclin M. A field study of the coupled effects of aquifer stratification, fluid density, and groundwater fluctuations on dispersivity assessments // Advances in Water Resources. 2006. Vol. 29, N 7. P. 1037–1055. https://doi.org/10.1016/j.advwatres.2005.09.002