Исследуются свойства образов гауссовской меры под действием тригонометрических полиномов фиксированной степени на конечномерных пространствах произвольной размерности. Показано, что образы n-мерной гауссовской меры под действием тригонометрических полиномов являются мерами с плотностями из класса Никольского – Бесова с дробным показателем. Эти свойства образов гауссовской меры использованы для получения оценок расстояния по вариации между двумя образами n-мерной гауссовской меры под действием тригонометрических полиномов через расстояние по Форте – Мурье между этими образами. Также получены обобщения данных результатов на случай образов гауссовской меры под действием k-мерных отображений, компоненты которых являются тригонометрическими полиномами.

Зеленов Георгий Ильич, канд. физ.-мат. наук, младший научный сотрудник, механико-математический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, 1; доцент, факультет компьютерных наук, Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики, Российская Федерация, 101000, Москва, Мясницкая ул., 20, e-mail: zelenovyur@gmail.com

Зеленов Г.И. Дробная гладкость распределений тригонометрических полиномов на пространстве с гауссовской мерой // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2020. Т. 31. С. 78-95. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2020.31.78

1. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Т. 1, 2. 2-е изд. М. : Наука, 1996. 480 с.

2. Богачев В. И. Распределения многочленов на многомерных и бесконечномерных пространствах с мерами // Успехи математических наук. 2016. Т. 71, № 4. С. 107–154.

3. Богачев В.И., Зеленов Г.И., Косов Е.Д. Принадлежность распределений многочленов к классам Никольского – Бесова // Доклады Академии наук. 2016. Т. 469, № 6. С. 651–655. https://doi.org/10.1134/S1064562416040293

4. Богачев В.И., Косов Е. Д., Попова С. Н. Характеризация классов Никольского – Бесова через интегрирование по частям // Доклады Академии наук. 2017. Т. 476, № 3. С. 251–255. https://doi.org/10.1134/S106456241705012X

5. Богачев В. И., Косов Е. Д., Попова С. Н. О гауссовских классах Никольского – Бесова // Доклады Академии наук. 2017. Т. 476, № 6. С. 609–613. https://doi.org/10.1134/S1064562417050295

6. Давыдов Ю. А., Мартынова Г. В. Предельное поведение распределений кратных стохастических интегралов // Статистика и управление случайными процессами : сб. ст. М. : Наука, 1989, С. 55–57.

7. Косов Е. Д. Классы Бесова на пространстве с гауссовской мерой // Доклады Академии наук. 2018. Т. 478, № 2. С. 133–136.

8. Косов Е. Д. Классы Бесова на конечномерных и бесконечномерных пространствах // Математический сборник. 2019. Т. 210, № 5. С. 41–71. https://doi.org/10.1134/s1064562418010076

9. Мартынова Г. В. Предельные теоремы для функционалов от случайных процессов : дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Ленинград : ЛГУ, 1987.

10. Назаров Ф. Л. Локальные оценки экспоненциальных полиномов и их приложения к неравенствам типа принципа неопределенности // Алгебра и анализ. 1993. Т. 5, № 4. C. 3–66.

11. Назаров Ф. Л., Содин М. Л., Вольберг А. Л. Геометрическая лемма Каннана – Ловаса – Шимоновича, не зависящие от размерности оценки распределения значений полиномов и распределение нулей случайных аналитических функций // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, № 2. С. 214–234.

12. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М. : Наука, 1977. 456 с.

13. Adams R. A., Fournier J. J. Sobolev spaces. New York : Academic Press, 2003. 310 p.

14. Bogachev V. I. Differentiable measures and the Malliavin calculus. Amer. Math. Soc., Rhode Island, Providence, 2010. 510 p.

15. Bogachev V. I. Gaussian measures. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 1998. 450 р.

16. Bogachev V.I. Measure theory. Vol. 1, 2. New York, Springer, 2007. 1170 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-34514-5

17. Bogachev V.I., Kosov E.D., Popova S.N. A new approach to Nikolskii – Besov classes // Moscow Math. J. 2019. Vol. 19, N 4. P. 619–654. https://doi.org/10.17323/1609-4514-2019-19-4-619-654

18. Bogachev V., Kosov E., Zelenov G. Fractional smoothness of distributions of polynomials and a fractional analog of the Hardy – Landau – Littlewood inequality // Trans. Amer. Math. Soc. 2018. Vol. 370, N 6. P. 4401–4432. https://doi.org/10.1090/tran/7181

19. Carbery A., Wright J. Distributional and L^q norm inequalities for polynomials over convex bodies in Rⁿ // Math. Research Lett. 2001. Vol. 8, N 3. P. 233–248. https://doi.org/10.4310/MRL.2001.v8.n3.a1

20. Davydov Y. A. On distance in total variation between image measures // Statistics & Probability Letters. 2017. Vol. 129. P. 393–400. https://doi.org/10.1016/j.spl.2017.06.022

21. Fortet R., Mourier E. Convergence de la repartition empirique vers la repartition theorique // Ann. Sci. ´ Ecole Norm. Sup. 1953. Vol. 70, N 3. Р. 267–285. https://doi.org/10.24033/asens.1013

22. Kosov E. D. Fractional smoothness of images of logarithmically concave measures under polynomials // J. Math. Anal. Appl. 2018. Vol. 462, N 1. P. 390–406. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2018.02.016

23. Nourdin I., Nualart D., Poly G. Absolute continuity and convergence of densities for random vectors on Wiener chaos // Electron. J. Probab. 2013. Vol. 18, N 22. P. 1–19. https://doi.org/10.1214/ejp.v18-2181

24. Nourdin I., Poly G. Convergence in total variation on Wiener chaos // Stochastic Process. Appl. 2013. Vol. 123, N 2. P. 651–674. https://doi.org/10.1016/j.spa.2012.10.004

25. Stein E. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton : Princeton University Press, 1970. 287 p.

26. Zelenov G. I. On distances between distributions of polynomials // Theory Stoch. Processes. 2017. Vol. 22, N 2. P. 79–85.