Изучается система двух нелинейных уравнений в частных производных четвертого порядка. Правые части системы уравнений содержат многомерные аналоги уравнения Буссинеска, выражаемые через двукратные операторы Лапласа и квадраты градиентов искомых функций, а также линейные функции взаимосвязи. Такого рода уравнения, близкие к уравнениям Навье – Стокса, встречаются в задачах гидродинамики. Предлагается искать решение в виде анзаца, содержащего квадратичную зависимость от пространственных переменных и произвольные функции от времени. Использование предложенного анзаца позволяет декомпозировать процесс отыскания компонент решения зависящих от пространственных переменных и от времени. Для отыскания зависимости от пространственных переменных необходимо решать алгебраическую систему матричных, векторных и скалярного уравнения. Найдено общее решение этой системы уравнений в параметрическом виде. Для отыскания компонент решения исходной системы, зависящих от времени, возникает система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта система сведена к одному уравнению четвертого порядка, для которого найдены частные решения. Приводится ряд примеров построенных точных решений исходной системы уравнений типа Буссинеска, в том числе выражаемые через функции Якоби по времени и анизотропные по пространственным переменным.

Косов Александр Аркадьевич, канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, Институт динамики систем  и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952)427100, e-mail: kosov_idstu@mail.ru

Семенов Эдуард Иванович, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова 134, тел.: (3952)453099, e-mail: edwseiz@gmail.com

Тирских Владимир Викторович, канд. физ.-мат. наук, доц., Иркутский государственный университет путей сообщения, Российская Федерация, 664074, Иркутск, ул. Чернышевского, 15, тел. (3952)638311, e-mail: tirskikh_vv@irgups.ru

Косов А.А., Семенов Э.И., Тирских В.В. Многомерные точные решения системы нелинейных уравнений типа Буссинеска // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 30. С. 114-124. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.30.114

1. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис. М. : Мир, 1988. 694 с.
2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1971. 576 с. https://dx.doi.org/10.1007/978-3-663-05925-7
3. Косов А. А., Семенов Э. И. О точных многомерных решениях системы уравнений реакции-диффузии со степенными нелинейностями // Сибирский математический журнал. 2017. Т. 58, № 4. С. 796–812. https://doi.org/10.17377/smzh.2017.58.408
4. Косов А. А., Семенов Э. И. О точных многомерных решениях одной нелинейной системы уравнений реакции-диффузии // Дифференциальные уравнения. 2018. Т. 54, № 1. С. 108–122. https://doi.org/10.1134/S0374064118010090
5. Kosov A. A., Semenov E. I., Tirskikh V. V. On Exact Multidimensional Solutions of a Nonlinear System of First Order Partial Differential Equation // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 28. С. 53–68. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.53
6. Павлов М. В. Уравнение Буссинеска и преобразование Миуры // Фундаментальная и прикладная математика. 2004. Т. 10, № 1. С. 175–182.
7. Полянин А. Д., Журов А. И. Решения с функциональным разделением переменных двух классов нелинейных уравнений математической физики // Доклады АН. 2019. Т. 486, № 3. С. 287–291.
8. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М. : Физматлит, 2002. 432 с.
9. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М. : Физматлит, 2005. 256 с.
10. Скубачевский А. Л. Уравнения Власова – Пуассона для двухкомпонентной плазмы в однородном магнитном поле //УМН. 2014. Т. 69, № 2. С. 107–148. https://doi.org/10.4213/rm9579.
11. Galactionov V. A., Svirshchevskii S. R. Subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics. Chapman & Hall/CRC, 2007. 493 p.
12. Steady state solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability / Y. Markov, G. Rudykh, N. Sidorov, A. Sinitsyn, D. Tolstonogov // Acta Appl. Math. 1992. Vol. 28, N 3. P. 253–293.
13. Сидоров Н. А., Синицын А. В. Стационарная система Власова – Максвелла в ограниченных областях // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. М. : Физматлит, 2003. P. 50–88.