Исследуется строение конечных квазиполей с ассоциативными степенями. Это прежде всего ассоциативные квазиполя, называемые почти-полями. К ним относят также квазиполя Муфанг, у которых лупы ненулевых элементов есть, по определению, лупы, введенные Рут Муфанг в 1935 г.

В работе приводятся основные определения, связанные с квазиполями. Показывается, что единица любого конечного (правого) квазиполя Q порождает простое подполе P, и Q всегда есть левый модуль над P, а двусторонний - не всегда. Как следствие, найдено новое доказательство известного утверждения: простое подполе конечного полуполя всегда лежит в центре. В то же время выявляются конечные почти-поля с простым подполем, не лежащим в центре. Известный вопрос о максимальных подполях конечных квазиполей полностью решен для класса конечных почти-полей порядка p^r с простыми числами p и r.

В решении вопросов о максимальных подполях и спектрах групповых порядков ненулевых элементов конечных квазиполей Муфанг предлагается использовать известные аналоги теоретико-групповых теорем Лагранжа и Силова. Перечислены все возможные двузначные порядки собственных квазиполей Муфанг.

Яковлева Татьяна Николаевна, аспирант, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, корп. 3, тел.: 89659139701, e-mail: tnyakovleva@sfu-kras.ru

Яковлева Т.Н. Вопросы строения квазиполей с ассоциативными степенями // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 29. С.107-119. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.29.107

1. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. СПб. : Лань, 2007. 560 с.
2. Холл М. Теория групп. М. : Издательство иностранной литературы, 1962. 460 с.
3. Bruck R. H. A survey of binary systems. Springer-Verlag, 1971. 188 p.
4. Chein O. Moufang loops of small order // Transactions of the American mathematical society. 1974. Vol.188, Iss. 2. P. 31–51. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1974-0330336-3
5. Dancs S. The sub-near-field structure of finite near-fields // Bull. Austral. Math. Soc. 1971. Vol.5. P. 275–280. https://doi.org/10.1017/S000497270004716X
6. Dancs S. On finite Dickson near-fields // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1972. Vol. 37. P. 254–257. https://doi.org/10.1007/BF02999702
7. Dancs S. Groves Locally finite near-fields // Abhandl. Math. Seminar Hamburg. 1979. Vol. 48. P. 89-107. https://doi.org/10.1007/BF02941292
8. Dickson L. E. Linear algebras in which division is always uniquely possible // Trans. Amer. Math. Soc. 1906. Vol. 7. P. 370–390.
9. Felgner U. Pseudo-finite near-field // Proc. Conf. Tubingen, North-Holland, Amsterdam, 1987. P. 15–29. https://doi.org/10.1016/S0304-0208(08)72282-5
10. Gagola S. M. The conjugacy of triality subgroups of Sylow subloops of Moufang loops // Journal of Group Theory. 2010. Vol. 13, Iss. 6. P. 821–840. https://doi.org/10.1515/jgt.2010.026
11. Grishkov A. N., Zavarnitsine A. V. Lagrange’s theorem for Moufang Loops // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 2005. N 1(139). P. 41–57. https://doi.org/10.1017/S0305004105008388
12. Grishkov A. N., Zavarnitsine A. V. Sylow’s theorem for Moufang loops // Journal of Algebra. 2009. Vol. 321, Iss. 7. P. 1813–1825. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.08.035
13. Hughes F. S., Piper F. C. Projective planes. New-York Inc., Springer–Verlag, 1973. 291 p.
14. Johnson N. L., Jha V., Biliotti M. Handbook of finite translation planes. London, New York, Chapman Hall/CRC, 2007. 861 p.
15. Kallaher M. J. Right Bol Quasi-Fields // Canadian journal of mathematics. 1969. Vol. 21. P. 1409–1420. https://doi.org/10.4153/CJM-1969-155-8
16. Knuth D. E. Finite semifields and projective planes // J. Algebra. 1965. Vol. 2. P. 182-217. https://doi.org/10.1016/0021-8693(65)90018-9
17. Levchuk V. M., Panov S. V., Shtukkert P. K. The structure of finite quasifields and their projective translation planes. // Proceed. XII Intern. Conf. on Algebra and Number Theory. Tula, 2014. P. 106–108.
18. Levchuk V. M., Shtukkert P. K. The structure of quasifields of small even orders // Proceed. Steklov Inst. Math. and Mechanics Ural Branch of RAS. Pleiades Publishing. 2015. Vol. 21, N 3. P. 197–212.
19. Levchuk V. M., Kravtsova O. V. Problems on structure of finite quasifields and projective translation planes // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017. Vol. 38, N 4. P. 688–698.
20. Luneburg H. Translation planes. Berlin–Heidelberg–New York, Springer–Verlag, 1980. 278 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-67412-9
21. Moufang R. Zur Struktur von Alternativkorpern // Math. Ann. 1935. Vol. 110, N 1. P. 416–430. https://doi.org/10.1007/BF01448037
22. Zassenhaus H. Uber endliche Fastkorper // Abh. Math. Sem. Hamburg. 1935. Vol. 11, Iss. 1. P. 187–220. https://doi.org/10.1007/BF02940723