В конце 1970-х гг. автором был разработан метод интегрального представления и вычисления комбинаторных сумм различного типа (метод коэффициентов) с использованием формальных степенных рядов Лорана над C, теории аналитических функций и теории кратных вычетов в Cⁿ. С тех пор этот метод нашел многочисленные применения в различных областях математики в нашей стране и за рубежом. На наш взгляд, особенно интересно и актуально использование метода коэффициентов при решении трудной проблемы вычисления кратных сумм с линейными ограничениями на индексы суммирования. Проблемы такого типа нередко возникают на практике при решении различных комбинаторных задач. Например, в 2016 г. автором в статье, опубликованной в журнале ≪Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика≫, была вычислена кратная сумма с q-биномиальными коэффициентами и линейными рекуррентными соотношениями на индексы суммирования, возникшая при перечислении всех собственных t-мерных подпространств V_m над полем GF(q).

В 2012 году В. П. Кривоколеско и Е. К. Лейнартас в журнале ≪Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика≫ доказали с использованием композиции Адамара кратное тождество с полиномиальными коэффициентами и ограничениями различного типа на пределы суммирования, содержащее семейство свободных параметров. Это тождество является обобщением тождеств, изученных ранее несколькими авторами, начиная с построения фильтров Добеши в вейвлет-теории. Здесь по стандартной схеме метода коэффициентов проведено, не зная ответа, короткое и простое вычисление кратной суммы Кривоколеско – Лейнартаса. Это вычисление также автоматически дает эквивалентный способ вычисления указанной суммы с помощью традиционного метода производящих функций, используя лишь хорошо известные операции над соответствующими кратными степенными рядами Лорана.

Егорычев Георгий Петрович, д-р физ.-мат. наук, профессор, Институт математики и фундаментальной информатики, Сибирский федеральный университет, Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79, тел.: +7(391)9135924671, e-mail: gegorych@mail.ru

Egorychev G.P. A Short Calculation of the Multiple Sum of Krivokolesko–Leinartas with Linear Constraints on Summation Indices // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 29. С. 22-30. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.29.22

1. Davletshin M. N., Egorychev G. P., Krivokolesko V. P. New applications of the Egorychev method of coefficient of integral representations and calculation combinatorial sums // Preprint arXiv: math./ 1506.03596vl, Jun 2015. P. 1–64.
2. Deubechies I. Ten Lectures on Wavelets. SIAM, Philadelphia, 1992. P. XIX+357. https://doi.org/10.1137/1.9781611970104
3. Егорычев Г. П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. Наука : Новосибирск, 1977. (English: Transl. of Math. Monographs, 59, AMS, 1984, 286 p.; 2-nd ed. in 1989).
4. Егорычев Г. П. Комбинаторное тождество из теории интегральных представлений в Cⁿ // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2011. Т.4, № 4. С. 39–44.
5. Егорычев Г. П. Перечисление собственных t-мерных подпространств пространств V_m над полем GF(q) // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2016. Т.17. С. 12–22.
6. Egorychev G. P. Method of coefficients: an algebraic characterization and recent applications // Advances in Combinatorial Math. Springer-Verlag. Proc. of the Waterloo Workshop in Computer Algebra 2008, dedicated to the 70th birthday G. Egorychev. 2009. P. 1–30.
7. Krattenthaler Ch. A new q-Lagrange formula and some applications // Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 90. 1984. P. 338–344. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1984-0727262-6.
8. Кривоколеско В. П., Лейнартас Е. К. О тождествах с полиномиальными коэффициентами // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2012. Т. 5, № 3. С. 56–62.
9. Леонтьев В. К. Избранные задачи комбинаторного анализа. М. : Моск. гос. техн. ун-т, 2001. 182 с.
10. Шелкович В. М., Южаков А. П. Структура одного класса асимптотических распределений В. К. Иванова // Изв. вузов. Сер. Математика. 1991. № 4. С. 70–73.
11. Zeilberger D. On an identity of Deubechies // Amer. Math. Monthly. 1993. Vol. 100. P. 487. https://doi.org/10.2307/2324306.
12. Zeilberger D. Proof of the alternating sign matrix conjecture // arXiv: math./ 9407211vl, 2 July 1994. P. 1–84.