Исследуется однозначная разрешимость класса линейных обратных задач с независящим от времени неизвестным коэффициентом в эволюционном уравнении в банаховом пространстве, разрешенном относительно дробной производной Герасимова – Капуто. Предполагается, что оператор из правой части уравнения порождает экспоненциально ограниченное аналитическое в секторе, содержащем положительную полуось, семейство разрешающих операторов соответствующего однородного уравнения. Показано, что для корректности обратной задачи в качестве пространства исходных данных необходимо выбирать область определения порождающего оператора, снабженную нормой его графика. Найдены достаточные условия однозначной разрешимости обратной задачи. Полученные абстрактные результаты используются для нахождения условий разрешимости обратной задачи для одного класса уравнений в частных производных дробного порядка по времени. Рассмотренный пример, в частности, показывает, что при выборе в качестве пространства исходных данных не области определения порождающего оператора, а всего пространства обратная задача является некорректной.

Федоров Владимир Евгеньевич, д-р физ.-мат. наук, проф., Челябинский государственный университет, Российская Федерация, 454001, Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129; тел.: (351)7997235, e-mail: kar@csu.ru

Нагуманова Анна Викторовна, канд. физ.-мат. наук, Челябинский государственный университет, Российская Федерация, 454001, Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129; тел.: (351)7997235, e-mail: urazaeva_anna@mail.ru

Федоров В.Е., Нагуманова А.В. Обратная задача для эволюционного уравнения с дробной производной Герасимова – Капуто в секториальном случае // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 28. С. 123-137. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.123

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М. : Наука, 1967. 300 с.
2. Глушак А. В. Об одной обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения дробного порядка. // Мат. заметки. 2010. Т. 87, вып. 5. C. 684–693. https://doi.org/10.1134/S0001434610050056
3. Гордиевских Д. М., Федоров В. Е. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных систем уравнений дробного порядка по времени // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2015. Т. 12. С. 12–22.
4. Иванова Н. Д., Федоров В. Е., Комарова К. М. Нелинейная обратная задача для системы Осколкова, линеаризованной в окрестности стационарного решения // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2012. № 26 (280). Математика. Механика. Информатика. Вып. 15. С. 49–70.
5. Попов А. Ю., Седлецкий А. М. Распределение корней функций Миттаг – Леффлера // Соврем. математика. Фундамент. направления. 2011. Т. 40. C. 3–171.
6. Прилепко А. И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач. Прогноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 11. С. 1560–1571. https://doi.org/10.1007/s10625-005-0323-y
7. Пятков С. Г., Самков М. Л. О некоторых классах коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений // Мат. тр. 2012. Т. 15, № 1. C. 155–177. https://doi.org/10.3103/s1055134412040050
8. Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Вопросы корректности прямых и обратных задач для эволюционного уравнения специального вида // Мат. заметки. 1994. Т. 56, вып. 2. C. 99–113. https://doi.org/10.1007/BF02110743
9. Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Обратная задача для дифференциального уравнения в банаховом пространстве и распределение нулей целой функции типа Миттаг – Леффлера // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 5. С. 637–644. https://doi.org/10.1023/A:1020262708594
10. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М. : Мир., 1980. 663 c.
11. Уразаева А. В., Федоров В. Е. Задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений гидродинамики // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 8. С. 1111–1119. https://doi.org/10.1134/S0012266108080120
12. Уразаева А. В., Федоров В. Е. О корректности задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений // Мат. заметки. 2009. Т. 85, вып. 3. С. 440–450.
13. Фалалеев М. В. Абстрактная задача прогноз-управление с вырождением в банаховых пространствах // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2010. Т. 3, № 1. C. 126–132.
14. Федоров В. Е., Иванова Н. Д. Нелинейная эволюционная обратная задача для некоторых уравнений соболевского типа // Сиб. электрон. мат. изв. 2011. Т. 8 : Тр. Второй междунар. молодеж. шк.-конф. «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Ч. 1. С. 363–378.
15. Федоров В. Е., Романова Е. А. Неоднородное эволюционное уравнение дробного порядка в секториальном случае // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. математика и ее приложения. Темат. обзоры. 2018. T. 149. С. 103–112.
16. Федоров В. Е., Уразаева А. В. Линейная эволюционная обратная задача для уравнений соболевского типа // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск : Изд-во Ин-та математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2010. С. 293–310.
17. Abasheeva N.L. Some inverse problems for parabolic equations with changing time direction // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2004. Vol. 12, N 4. P. 337– 348. https://doi.org/10.1515/1569394042248265
18. Al Horani M., Favini A. Degenerate first-order inverse problems in Banach spaces // Nonlinear Analysis. 2012. Vol. 75, N 1. P. 68–77.
19. Bajlekova E.G. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces. PhD thesis. Eindhoven: University Press Facilities, Eindhoven University of Technology, 2001. 107 p.
20. Favini A., Lorenzi A. Differential Equations. Inverse and Direct Problems. New York : Chapman and Hall/CRC, 2006. 304 p.
21. Fedorov V.E. A class of fractional order semilinear evolutions in Banach spaces // Integral Equations and Their Applications. Proceeding of University Network Seminar on the occasion of The Third Mongolia – Russia – Vietnam Workshop on NSIDE 2018. October 27-28, 2018, Hung Yen, Viet Nam. Hung Yen : Hanoi Mathematical Society, Hung Yen University of Technology and Education, 2018. P. 11–20.
22. Fedorov V.E., Ivanova N.D. Identification problem for a degenerate evolution equation with overdetermination on the solution semigroup kernel // Discrete and Continuous Dynamical Systems. Series S. 2016. Vol. 9, N 3. P. 687–696. https://doi.org/10.3934/dcdss.2016022
23. Fedorov V.E., Ivanova N.D. Identification problem for degenerate evolution equations of fractional order // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2017. Vol. 20, N 3. P. 706–721. https://doi.org/10.1515/fca-2017-0037
24. Fedorov V.E., Nazhimov R.R. Inverse problems for a class of degenerate evolution equations with the Riemann – Liouville derivative // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2019. Vol. 22, N 2. P. 271–286.
25. Fedorov V.E., Romanova E.A., Debbouche A. Analytic in a sector resolving families of operators for degenerate evolutional equations // Journal of Mathematica Sciences. 2018. Vol. 228, N 4. P. 380–394. https://doi.org/10.1007/s10958-017-3629-4
26. Fedorov V.E., Urazaeva A.V. An inverse problem for linear Sobolev tType equations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2004. Vol. 12, N 4. P. 387–395. https://doi.org/10.1163/1569394042248210
27. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Utrecht: VSP, 1999. 181 p.
28. Liu Y., Rundell W., Yamamoto M. Strong maximum principle for fractional diffusion equations and an application to an inverse source problem // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2016. Vol. 19, N 4. P. 888–906.
29. Orlovsky D.G. Parameter determination in a differentia equation of fractional order with Riemann – Liouville fractional derivative in a Hilbert space // Журн. Сиб. федер. ун-та. Математика и физика. 2015. Т. 8, № 1. С. 55–63.
30. Plekhanova M.V. Nonlinear equations with degenerate operator at fractional Caputo derivative // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2016. Vol. 40. P. 41–44.
31. Prilepko A. I., Orlovskii D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics. New York, Basel : Marcel Dekker, Inc. 2000. 730 p.
32. Pruss J. Evolutionary Integral Equations and Applications. Basel : Springer, 1993. 366 p.