Ранг семейства теорий подобен рангу Морли и может служить мерой сложности или богатства данного семейства. Увеличивая ранг расширениями семейства, мы получаем более богатые семейства, которые в случае достижения бесконечности могут рассматриваться как “достаточно богатые”. В данной статье реализуются ранги для семейств теорий абелевых групп. В частности, изучаются ранги и замыкания для семейств теорий конечных абелевых групп. Показано, что множество теорий конечных абелевых групп не является тотально трансцендентным, т.е. его ранг равен бесконечности. В терминах шмелевских инвариантов характеризуются псевдоконечные абелевы группы. Кроме того, характеризуются e-минимальные семейства теорий абелевых групп как на языке размерности, т.е. числа независимых пределов шмелевских инвариантов, так и в терминах неравенств для шмелевских инвариантов. Эти характеризации получены для конечных абелевых групп и в общем случае. Найдены характеризации аппроксимируемости теорий абелевых групп и показаны возможности подсчета шмелевских инвариантов через параметры аппроксимаций. Описаны возможности построения d-определимых семейств теорий абелевых групп, имеющих данный счетный ранг и данную степень.

Павлюк Инесса Ивановна, канд. физ.-мат. наук, доцент, Новосибирский государственный педагогический университет, 630126, Российская Федерация, Новосибирск, ул. Вилюйская, 28;  тел. (383)2441586, e-mail: inessa7772@mail.ru

Судоплатов Сергей Владимирович, д-р физ.-мат. наук, доцент; ведущий научный сотрудник, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 630090, Российская Федерация, Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4, тел.: (383)3297586; заведующий кафедрой алгебры и математической логики, Новосибирский государственный технический университет, 630073, Российская Федерация, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел. (383)3461166; профессор кафедры алгебры и математической логики, Новосибирский государственный университет, 630090, Российская Федерация, Новосибирск, ул. Пирогова, 1, тел. (383)3634020, e-mail: sudoplat@math.nsc.ru

Pavlyuk In.I., Sudoplatov S.V. Ranks for Families of Theories of Abelian Groups // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 28. С. 95-112. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.95

1. Eklof P. C., Fischer E. R. The elementary theory of abelian groups // Annals of Mathematical Logic. 1972. Vol. 4. P. 115–171. https://doi.org/10.1016/0003-4843(72)90013-7
2. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М. : Физматлит, 2011.
3. Koppelberg S. Handbook of Boolean Algebras. Vol. 1 / eds. J. D. Monk, R. Bonnet. Amsterdam, New York, Oxford, Tokyo : North-Holland, 1989. 342 p.
4. Macpherson D. Model theory of finite and pseudofinite groups // Archive for Mathematical Logic. 2018. Vol. 57. N 1–2. P. 159–184. https://doi.org/10.1007/s00153-017-0584-1
5. Markhabatov N. D., Sudoplatov S. V. Ranks for families of all theories of given languages // arXiv:1901.09903v1 [math.LO]. 2019. 9 p.
6. Markhabatov N. D., Sudoplatov S. V. Definable subfamilies of theories and related calculi // arXiv:1901.08961v1 [math.LO]. 2019. 20 p.
7. Morley M. Categoricity in Power // Transactions of the American Mathematical Society. 1965. Vol. 114, N 2. P. 514–538. https://doi.org/10.2307/1994188
8. Pavlyuk In. I., Sudoplatov S. V. Families of theories of abelian groups and their closures // Bulletin of Karaganda University. Mathematics. 2018. Vol. 92, N 4. P. 72–78. https://doi.org/10.31489/2018M4/72-78
9. Popkov R. A. Distribution of countable models for the theory of the group of integers // Siberian. Math. J. 2015. Vol. 56, N 1. P. 185–191. https://doi.org/10.1134/S0037446615010152
10. Rosen E. Some Aspects of Model Theory and Finite Structures // The Bulletin of Symbolic Logic. 2002. Vol. 8, N 3. P. 380–403. https://doi.org/10.2307/3062205
11. Sudoplatov S. V. Ranks for families of theories and their spectra // arXiv:1901.08464v1 [math.LO]. 2019. 17 p.
12. Sudoplatov S. V. Approximations of theories // arXiv:1901.08961v1 [math.LO]. 2019. 16 p.
13. Szmielew W. Elementary properties of Abelian groups // Fund. Math. 1955. Vol. 41. P. 203–271. https://doi.org/10.4064/fm-41-2-203-271