Понятие ранга для семейств теорий, аналогичное рангу Морли для фиксированных теорий, служит мерой сложности для данных семейств. Возникает естественная проблема описания иерархии ранга для ряда семейств теорий.

В данной статье мы, отвечая на поставленный вопрос, описываем ранги и степени для семейств теорий подстановок с разным числом циклов определенной длины. Приведено несколько примеров семейств теорий подстановок, которые имеют конечный ранг, а также построено семейство теорий подстановок, имеющее данный счетный ранг и данную степень n. Доказано, что в семействе теорий подстановок любая теория является теорией конечной структуры или аппроксимируется теориями конечных структур, т. е. любая теория подстановки на бесконечном множестве является псевдоконечной. Изучены топологические свойства рассматриваемых семейств.

Мархабатов Нурлан Дарханович, аспирант, Новосибирский государственный технический университет, Российская Федерация, 630073, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20; тел. (383)3461166, e-mail: nur_24.08.93@mail.ru

Markhabatov N.D. Ranks for Families of Permutation Theories // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 28. С. 85-94. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.85

1. Ivanov A. A. Complete theories of unars // Algebra and Logic. 1984. Vol. 23, N 1. P. 36–55.
2. Marcus L. The number of countable models of a theory of one unary function // Fundamenta Mathematicae. 1980. Vol. CVIII, Issue 3. P. 171–181.
3. Markhabatov N. D., Sudoplatov S. V. Ranks for families of all theories of given languages // arXiv:1901.09903v1 [math.LO], 2019, available at: https://arxiv.org/abs/1901.09903v1
4. Morley M. Categoricity in Power // Transactions of the American Mathematical Society. 1965. Vol. 114, N 2. P. 514–538.
5. Popkov R. A. Klassifikacija schjotnyh modelej polnyh teorij odnomestnyh predikatov s podstanovkoj ogranichennogo porjadka [Classification of countable models of complete theories of unary predicates with permutation of bounded order] // Algebra and Model Theory 8. Collection of papers / NSTU. Novosibirsk, 2011. P. 73-82.
6. Rosen E. Some Aspects of Model Theory and Finite Structures // The Bulletin of Symbolic Logic. 2002. Vol. 8, N 3. P. 380–403. https://doi.org/10.2178/bsl/1182353894
7. Ryaskin A. N. The number of models of complete theories of unars // Model Theory and Its Applications, Tr. Inst. Mat. SO AN SSS. 1988. Vol. 8. P. 162–182.
8. Shishmarev Yu. E. On categorical theories of one function // Mat. Zametki. 1972. Vol. 11, N 1. P. 89–98.
9. Sudoplatov S. V. Ranks for families of theories and their spectra // arXiv: 1901. 08464v1 [math.LO], 2019. Available at: https://arxiv.org/abs/1901.08464
10. Sudoplatov S. V. Approximations of theories // arXiv:1901.08961v1 [math.LO], 2019. Available at: https://arxiv.org/abs/1901.08961