Работа посвящена изучению нелинейного уравнения теплопроводности в случае степенной нелинейности (уравнение пористой среды; уравнение нелинейной фильтрации), для которого исследуется задача об инициировании краевым режимом, заданным на подвижном многообразии, тепловой волны, движущейся по холодному (нулевому) фону с конечной скоростью, в случае трех пространственных переменных. Доказана новая теорема существования и единственности решения указанной задачи в классе аналитических функций (основная теорема). Само решение строится в виде ряда по степеням независимых переменных, коэффициенты которого определяются индукцией по суммарному порядку дифференцирования с использованием рекуррентной процедуры – на каждом шаге решается система алгебраических уравнений с возрастающей (вообще говоря, неограниченно) размерностью. Локальная сходимость построенного ряда доказывается методом мажорант с использованием классической теоремы Коши – Ковалевской. Тем самым обобщаются и усиливаются ранее полученные авторами результаты в части построения решений задачи о движении тепловой волны по холодному фону в цилиндрических и сферических координатах. Кроме того, рассматриваются некоторые частные случаи задачи, когда построение решения может быть сведено к интегрированию нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, не раз- решенного относительно старшей производной. Поскольку проинтегрировать в квадратурах упомянутое обыкновенное дифференциальное уравнение, вообще говоря, не удается, проводится его качественное исследование, а также выполняются численные эксперименты с использованием граничноэлементного подхода, развиваемого в последние годы авторами. Приводится интерпретация полученных результатов с точки зрения исходной задачи о движении тепловой волны.

Казаков Александр Леонидович, д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134; Институт машиноведения УрО РАН, Российская Федерация, 620049, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34, e-mail: kazakov@icc.ru

Кузнецов Павел Александрович, канд. физ.-мат. наук, младший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134; старший преподаватель, Иркутский государственный университет, Российская Федерация, 664003, г. Иркутск, ул. К. Маркса, 1, e-mail: pav_ku@mail.ru

Спевак Лев Фридрихович, канд. техн. наук, заведующий лабораторией прикладной механики, Институт машиноведения УрО РАН, Российская Федерация, 620049, г. Екатеринбург, ул. Комсомольская, 34, e-mail: lfs@imach.uran.ru

Казаков А. Л., Кузнецов П. А., Спевак Л. Ф. Трехмерная тепловая волна, порожденная краевым режимом, заданным на подвижном многообразии // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2018. Т. 26. С. 16-34. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2018.26.16

1. Баренблатт Г. И., Вишик И. М. О конечной скорости распространения в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20, вып. 3. С. 411–417.
2. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М. : Наука, 1990. 490 с.
3. Зельдович Я. Б., Компанеец А. С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры // Сборник, посвященный 70-летию А. Ф. Иоффе. М. : Изд-во АН СССР, 1950. С. 61–71.
4. Казаков А. Л., Кузнецов П. А., Спевак Л. Ф. Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 119–129.
5. Казаков А. Л., Кузнецов П. А. Об аналитических решениях одной специальной краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности в полярных координатах // Сиб. журн. индустр. математики. 2018. Т. 21, № 2(74). С. 56–65. https://doi.org/10.17377/sibjim.2018.21.205
6. Казаков А. Л., Лемперт А. А. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачи нелинейной фильтрации с вырождением // Вычисл. технологии. 2012. Т. 17, № 1. С. 57–68.
7. Казаков А. Л., Лемперт А. А. О существовании и единственности решения краевой задачи для параболического уравнения нестационарной фильтрации // Прикл. механика и техн. физика. 2013. Т. 54, № 2. С. 97–105.
8. Казаков А. Л., Орлов Св. С., Орлов С. С. Построение и исследование некоторых точных решений нелинейного уравнения теплопроводности // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 3. С. 544–560. https://doi.org/10.17377/smzh.2018.59.306
9. Казаков А. Л., Спевак Л. Ф. Методы граничных элементов и степенных рядов в одномерных задачах нелинейной фильтрации // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2012. Т. 5, № 2. С. 2–17.
10. Кудряшов Н. А., Синельщиков Д. И.  Аналитические  решения   нелинейного уравнения конвекции-диффузии с нелинейными источниками // Моделирование и анализ информ. систем. 2016. Т. 23, № 3. С. 309–316. https://doi.org/10.18255/1818-1015-2016-3-309-316
11. Кудряшов Н. А., Чмыхов М. А. Приближенные решения одномерных задач нелинейной теплопроводности при заданном потоке // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, № 1. С. 110–120.
12. Кузнецов П. А. О краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности с данными на замкнутой поверхности // Известия Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. 2014. Т. 9. С. 61–74.
13. Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Нелинейные уравнения математической физики и механики. Методы решения. М. : Юрайт, 2017. 256 с.
14. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. М. : Наука, 1987. 480 с.
15. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М. : Физматлит, 2001. 576 с.
16. Banerjee P. К., Butterheld R. Boundary element methods in engineering science. McGraw-Hill Book Company Limited, UK, 1981. 494 p.
17. Kazakov A. L., Spevak L. F. An analytical and numerical study of a nonlinear parabolic equation with degeneration for the cases of circular and spherical symmetry // Applied Mathematical Modelling. 2016. Vol. 40, is. 2. P. 1333–1343. https://doi.org/10.1016/j.apm.2015.06.038
18. Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Oxford : Clarendon Press, 2007. 648 p.