Исследуется специальный класс вырожденных задач оптимального управления и соответствующих задач импульсного управления, допускающих содержательную трактовку в терминах описания процессов распространения информационного воздействия (политического влияния) в социальной сети, заданной взвешенным направленным графом. Дается постановка «прототипной» экстремальной задачи с неограниченным управляющим сигналом; обсуждается её импульсно-траекторное расширение в подходящей слабой топологии пространства функций ограниченной вариации, непрерывных справа. Для эквивалентной классической задачи управления, полученной в результате специальной разрывной параметризации расширенной системы, проводится детализация условий принципа максимума Понтрягина. Приводятся результаты численного исследования одной частной модели, иллюстрирующие импульсный характер управляющих воздействий; дается содержательная интерпретация полученных результатов. В заключительной части статьи для случая полного равновзвешенного графа исследуется вопрос о структуре модели при возрастании мощности сети: показано, что предельная (при стремлении числа агентов в сети к бесконечности) система описывается нелокальным уравнением неразрывности с «неограниченным» полем скоростей. Последнее может быть преобразовано с помощью разрывной замены времени к эквивалентному уравнению, управляемому «регулярным» векторным полем, представляющим собой (как и в конечномерном случае) корректное импульсно-траекторное расширение исходного уравнения неразрывности. Полученная таким образом задача управления распределенной системой является релаксацией исходной экстремальной задачи в случае «большого числа агентов».

Старицын Максим Владимирович, канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952) 45-30-95, e-mail: starmaxmath@gmail.com 

Малтугуева Надежда Станиславовна, программист, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952) 45-30-37, e-mail: malt@icc.ru 

Погодаев Николай Ильич, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952) 45-30-52, e-mail: n.pogodaev@icc.ru 

Сорокин Степан Павлович, канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, Российская Федерация, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952) 45-30-52, e-mail: sorsp@mail.ru

1. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления. М. : Наука, 1977. 304 с.

2. Дыхта В. А., Самсонюк О. Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. 2-е изд. М. : Физматлит, 2003. 256 с.

3. Завалищин С. Т., Сесекин А. Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М. : Наука, 1991. 256 с.

4. Миллер Б. М., Рубинович Е. Я. Оптимизация динамических систем симпульсными управлениями. М. : Наука, 2005. 429 с.

5. Ambrosio L., Savar´e G. Gradient flows of probability measures // Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations. Vol. III. Amsterdam : Elsevier/North-Holland, 2007. P. 1–136.

6. Arutyunov A. V., Karamzin D. Yu., Pereira F. L. On constrained impulsive control problems // J. Math. Sci. 2010. Vol. 165. P. 654–688. https://doi.org/10.1007/s10958-010-9834-z

7. Bressan A., Rampazzo F. Impulsive control systems without commutativity assumptions // Optim. Theory Appl. 1994. Vol. 81, N 3. P. 435–457. https://doi.org/10.1007/BF02193094

8. Clarke F. Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control. London : Springer-Verlag, 2013. 591 p.

9. Fornasier M., Solombrino F. Mean field optimal control // ESAIM Control Optim. Calc. Var. 2014 http://dx.doi.org/10.1051/cocv/2014009.

10. Knuth D.E. The Stanford GraphBase: A Platform for Combinatorial Computing. Boston : Addison-Wesley Professional, 1993. 592 p.

11. Marigonda A., Quincampoix M. Mayer control problem with probabilistic uncertainty on initial positions // J. Differential Equ. 2018. Vol. 264, N 5. P. 3212–3252. https://doi.org/10.1016/j.jde.2017.11.014

12. Newman M. Networks: An Introduction. Oxford : Oxford University Press, 2010. 720 p.

13. Pogodaev N. Optimal control of continuity equations // NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 2016. Vol. 23, N 2. P. 21–24. https://doi.org/10.1007/s00030-016-0357-2

14. Staritsyn M. V. On “discontinuous” continuity equation and impulsive ensemble control // Syst. Control Lett. 2018. Vol. 118. P. 77–83. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2018.06.001