Рассматривается система дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, описывающая взаимодействие популяций хищников и жертв, обитающих на одной территории. Система состоит из трех уравнений, при этом компоненты решения отвечают за численность популяции жертв, численность популяции взрослых хищников и численность популяции молодых хищников. Предполагается, что только взрослые хищники могут нападать на жертв и воспроизводить потомство. Параметр запаздывания предполагается постоянным и отвечает за время взросления хищников. Для рассматриваемой системы ставится начальная задача, для которой обсуждаются вопросы существования, единственности, неотрицательности, ограниченности решения. Также обсуждаются вопросы устойчивости стационарных решений (положений равновесия), соответствующих полному вымиранию популяций, вымиранию только популяции хищников и совместному сосуществова- нию популяций хищников и жертв. Основное внимание в работе уделяется получению оценок решений, характеризующих скорость сходимости к положению равновесия, соответствующему совместному сосуществованию популяций, и установлению оценок на множество притяжения, т. е. допустимых условий на начальные данные, при которых происходит сходимость. При получении результатов применяется метод функционалов Ляпунова – Красовского, который является аналогом метода функций Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом в работе существенно используется модифицированный функционал Ляпунова – Красовского, предложенный Г. В. Демиденко и И. И. Матвеевой. Важно отметить, что этот функционал позволяет получать оценки решений систем с запаздывающим аргументом, являющиеся аналогами оценки Крейна для обыкновенных дифференциальных уравнений, а построение такого функционала сводится к решению хорошо обусловленных задач.

1. Демиденко Г. В. Матричные уравнения : учеб. пособие. Новосибирск : Изд-во Новосиб. ун-та, 2009. 203 с.

2. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Асимптотические свойства решений диффе- ренциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2005. Т. 5, No 3. С. 20–28.

3. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами в линейных членах // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, No 5. С. 1025–1040.

4. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М. : Гос. изд. физ.-мат. лит., 1959. 211 с.

5. Матвеева И. И. Оценки решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Сиб. журн. индустр. математики. 2013. Т. 16, No 3. С. 122–132.

6. Скворцова М. А. Устойчивость решений в модели хищник-жертва с запаздыванием // Мат. заметки СВФУ. 2016. Т. 23, No 2. С. 108–120.

7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. : Мир, 1970. 720 с.

8. Хусаинов Д. Я., Иванов А. Ф., Кожаметов А. Т. Оценки сходимости решений линейных стационарных систем дифференциально-разностных уравнений с постоянным запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, No 8. С. 1137–1140.

9. Forde J. E. Delay differential equation models in mathematical biology. Ph. D. dissertation. University of Michigan, 2005. 104 p.

10. Gourley S. A., Kuang Y. A stage structured predator-prey model and its dependence on maturation delay and death rate // J. Math. Biol. 2004. Vol. 49, N 2. P. 188–200. https://doi.org/10.1007/s00285-004-0278-2

11. Kharitonov V. L., Hinrichsen D. Exponential estimates for time delay systems // Syst. Control Lett. 2004. Vol. 53, N 5. P. 395–405. https://doi.org/10.1016/ j.sysconle.2004.05.016

12. Mondi´e S., Kharitonov V. L. Exponential estimates for retarded time-delay systems: LMI approach // IEEE Trans. Autom. Control. 2005. Vol. 50, N 2. P. 268–273. https://doi.org/10.1109/TAC.2004.841916