Список выпусков > Серия «Математика». 2016. Том 17
Об одном представлении числа π в виде двойного ряда
Автор(ы)
Е. Н. Галушина
Аннотация
Предлагается новое представление числа π в виде двойного ряда,
которое следует из связи ℘-функции Вейерштрасса и тэта-функции Якоби. Даются
определения классических ℘-функции Вейерштрасса, тэта-функции Якоби. В начале
1980-х гг. итальянский математик П. Заппа попытался обобщить ℘-функцию на пространства большей размерности, пользуясь методами многомерного комплексного
анализа. С помощью ядра Бохнера – Мартинелли им было найдено такое обобщение,
что свойства обобщенной ℘-функции напоминают свойства классической одномерной ℘-функции, а также многомерный аналог тождества, связывающего ℘-функцию
и тэта-функцию многих переменных.
Данное тождество содержит постоянную, для которой есть интегральное представление, верное и в одномерном случае. Вычисляя в одномерном случае данную константу разными способами: при помощи интегрального представления, и пользуясь известными рядами, суммы которых выражаются через дигамма функцию, нами было получено представление числа π в виде абсолютно сходящегося двойного ряда.
Были проведены компьютерные эксперименты для оценки скорости сходимости данного ряда. Хоть она оказалась и невысокой, возможно, данное представление будет полезно в фундаментальных исследованиях по математическому анализу и теории чисел.
Ключевые слова
℘-функция Вейерштрасса, тэта-функция Якоби, число π
УДК
517.521.5
MSC
40B99
Литература
- Гурвиц А. Теория функций / А. Гурвиц, Р. Курант. – М. : Наука, 1968. — 648 с.
- Гриффитс Ф. Принципы алгебраической геометрии : пер. с англ. / Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. – М. : Мир, 1982. – Т. 1. – 496 с.
- Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях : пер. с англ. / Д. Мамфорд. – М. : Мир, 1988. – 448 с.
- Прудников А. П. Интегралы и ряды / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Марычев. – М. : Наука, 1981. – 800 с.
- Уиттекер Э. Т. Курс современного анализа. В 2 ч. Ч 2. Трансцендентные функции / Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. – М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. – 516 с.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. – СПб. : Лань, 2009. – 800 с.
- Diaz R. Pick’s Formula via the Weierstrass ℘-function / R. Diaz, S. Robins // The American Mathematical Monthly. – 1995. – Vol. 102, N. 5. – P. 432–437.
- Tereshonok E. N. McMullen’s formula and a multidimensional analog of the Weierstrass ζ-function / E. N. Tereshonok // Complex variables and elliptic equations: an international journal. – 2015. – Vol. 60, N 11. – P. 1594–1601.
- Zappa P. Su una generalizzazione della ℘ di Weierstrass / P. Zappa // Bollettino U. M. I. – 1983. – Vol. (6) 2-A. – P. 245–252.
- Zappa P. Osservazioni sui nuclei di Bochner-Martinelli / P. Zappa // Acc. Naz. Lincei. – 1979. – Vol. VIII, N LXVII. — P. 21–26.