Статья посвящена необходимым и достаточным условиям оптимальности, которые формулируются с использованием функций типа Ляпунова — решений неравенств Гамильтона–Якоби. Анализируется связь таких условий с критериями оптимальности некоторого порядка ω, где ω — функционал, характеризующий устойчивость минимума в данной точке, и предлагается схема улучшения программных и позиционных управлений.

1. Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации/ А. И.Субботин. — Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 336 с.

2. Bardi M. Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman Equations/ M. Bardi,I.C.Dolcetta. — Boston: Birkh¨auser, 1997. — 500 p.

3. Nonsmooth Analysis and Control Theory / F. H. Clarke, et al. — New York: Springer-Verlag, Grad. Texts in Math. 178, 1998. — 276 p.

4. Левитин Е. С. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями/Е.С. Левитин,А.А.Милютин, Н. П.Осмоловский//Успехи мат. наук. — 1978. — Т. 33, №6. — C. 85–147.

5. Dykhta V. A. Lyapunov–Krotov Inequality and Sufficient Conditions in Optimal Control/ V.A.Dykhta// J.ofMathematicalSciences. —2004. —V.121,№2. —

P. 2156–2177.

6. Дыхта В. А. Неравенство Ляпунова–Кротова и достаточные условия в оптимальном управлении / В. А. Дыхта // Итоги науки и техники. Совр. математика и ее приложения. — 2006. — Т. 110. — С. 76–108.

7. Аргучинцев А. В. Оптимальное управление: нелокальные условия, вычислительные методы и вариационный принцип максимума / А. В. Аргучинцев, В. А. Дыхта, В. А. Срочко // Изв. вузов. Математика. — 2009. — №1. — С. 3–43.

8. Milyutin A. A. Calculus of Variation and Optimal Control / A. A. Milyutin, N.

P. Osmolovskii. — Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1998. — 372 p.

9. Кротов В. Ф. Методы и задачи оптимального управления / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман. — М.: Наука, 1973. — 448 с.

10. Krotov V.F. Global Methods in Optimal Control Theory/ V.F. Krotov. —New York: Marcel Dekker, 1996. — 408 p.

11. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления/ В. И.Гурман. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука. Физматлит, 1997. — 288 с.

12. Гусейнов Х.Г. Сильно и слабо инвариантные множества относительно дифференциального включения, их производные и применение к задачам управления / Х. Г. Гусейнов, В. Н. Ушаков // Дифференц. уравнения. — 1990. — Т. 26, №11. — С. 1888–1894.

13. Frankowska H. Lower Semicontinuous Solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman Equations / H. Frankowska // SIAM J. Control and Optimization. — 1993. —

V. 31, №1. — P. 257–272.

14. Vinter R. Convex Duality and Nonlinear Optimal Control/ R.Vinter// SIAMJ. Control and Optimization. — 1993. — V. 31, №2. — P. 518–538.

15. Clarke F. H. Nonconvex Duality in Optimal Control/ F. H.Clarke,C. Nour// SIAM J. Control and Optimization. — 2005. — V. 43, №6. — P. 2036—2048.

16. Красовский Н. Н. Позиционные дифференциальные игры/ Н. Н. Красовский, А. И. Субботин. — М.: Наука, 1974. — 455 с.

17. Субботина Н. Н. Методы динамического программирования для класса локально-липшицевых функций/ Н. Н.Субботина// ДокладыРАН. — 2003. — Т. 389, №2. — С. 169–172.

18. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления/ В.А.Срочко. —М.:Физматлит,2000. —160 с.

19. Батурин В. А. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения/ В.А. Батурин, Д.Е.Урбанович. — Новосибирск: Наука, 1997. — 175 с.