Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 19
Нелокальное улучшение управлений в нелинейных дискретных системах
Рассматривается нелинейная задача оптимального управления дискретной системой, содержащая как управляющую функцию, так и управляющие параметры (параметры входят в правую часть системы и начальное условие). Для данной оптимизационной задачи исследуется задача улучшения управления. Развивается известный подход к нелокальному улучшению управления, базирующийся на построении точной (без остаточных членов разложений по переменным состояния и управления) формулы приращения целевого функционала при специальной сопряженной системе.
Для данной нелинейной оптимизационной задачи рассмотрен обобщенный лагранжиан, следуя теории В. Ф. Кротова. Функция ϕ(t, x), играющая важную роль в обобщенном лагранжиане, рассматривается в статье в линейном по x виде
ϕ(t, x) = <p(t), x> , где функция p(t) является решением указанной сопряженной системы. Таким образом, во-первых, точная формула приращения целевого функционала рассматривается в предположении существования решения p(t) и, во-вторых, линейная функция ϕ(t, x) здесь использована в связи с получением указанной формулы приращения, а не для линейной аппроксимации приращения обобщенного лагранжиана. Сформулировано соответствующее условие улучшения управления в терминах краевой задачи, образованной объединением системы, данной в оптимизационной задаче, вместе с сопряженной системой. Полученное условие улучшения аналогично условиям улучшения, ранее предложенным в работах автора для дискретных задач без управляющих параметров.
Приведен иллюстративный пример улучшения управления в задаче, в которой подлежащее улучшению управление дает максимум функции Понтрягина при всех значениях t. Краевая задача улучшения решена с помощью метода пристрелки, причем вычисления осуществлены аналитически.
1. Антипина Н. В. Линейные функции Ляпунова-Кротова и достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума / Н. В. Антипина, В. А. Дыхта // Изв. вузов. Математика. – 2002. – № 12. – С. 11–22.
2. Аргучинцев А. В. Оптимальное управление: нелокальные условия, вычислительные методы и вариационный принцип максимума / А. В. Аргучинцев, В. А. Дыхта, В. А. Срочко // Изв. вузов. Математика. — 2009. – №1. – C. 3–43.
3. Аргучинцев А. В. Оптимальное управление начальными условиями канонической гиперболической системы первого порядка на основе нестандартных формул приращения / А. В. Аргучинцев, В. П. Поплевко // Изв. вузов. Математика. – 2008. – № 1. – C. 3–10.
4. Батурин В. А. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения / В. А. Батурин, Д. Е. Урбанович. – Новосибирск : Наука, 1997. – 175 с.
5. Булдаев А. С. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем / А. С. Булдаев. – Улан-Удэ : Изд-во Бурят. гос. ун-та, 2008. – 256 с.
6. Булдаев А. С. Новый подход к оптимизации управляемых систем на основе краевых задач / А. С. Булдаев // Автоматика и телемеханика. – 2011. – № 6. – С. 87–94.
7. Булдаев А. С. Модификация метода проекций для улучшения нелинейных управлений / А. С. Булдаев, О. В. Моржин // Вестн. Бурят. гос. ун-та. – 2010. – Вып. 9 : Математика и информатика. – С. 10–17.
8. Булдаев А. С. Улучшение управлений в нелинейных системах на основе краевых задач / А. С. Булдаев, О. В. Моржин // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2009. – Т. 2, № 1. – С. 94–107.
9. Булдаев А. С. Метод неподвижных точек в задачах параметрической оптимизации систем / А. С. Булдаев, И.-Х. Д. Хишектуева // Автоматика и телемеханика. – 2013, № 12. – С. 5–14.
10. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. – М. : Наука, 1965. – 476 с.
11. Габасов Р. Качественная теория оптимальных процессов / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. – М. : Наука, 1971. – 508 с.
12. Гурман Владимир Иосифович / Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Гурман,_Владимир_Иосифович (дата обращения: 2 янв. 2017).
13. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления / В. И. Гурман. – 2-е изд. – М. : Наука : Физматлит, 1997. – 288 с.
14. Гурман В. И. Новые методы улучшения управляемых процессов / В. И. Гурман, В. А. Батурин, Е. В. Данилина и др. – Новосибирск: Наука, 1987. – 184 с.
15. Методы улучшения в вычислительном эксперименте / В. И. Гурман [и др.]. – Новосибирск: Наука, 1988. – 184 с.
16. Гурман В. И. Приближенные методы оптимального управления / В. И. Гурман, В. А. Батурин, И. В. Расина. – Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та, 1983. – 180 с.
17. Дыхта В. А. Позиционные усиления принципа максимума и достаточные условия оптимальности / В. А. Дыхта // Тр. ИММ УрО РАН. – 2015. – Т. 21, № 2. – С. 73–86.
18. Кротов Вадим Федорович [Электронный ресурс] // Википедия – свободная энциклопедия. – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Кротов,_Вадим_Фёдорович (дата обращения: 2 янв. 2017).
19. Кротов В. Ф. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета / В. Ф. Кротов, В. З. Букреев, В. И. Гурман. – М. : Машиностроение, 1969. – 288 с.
20. Кротов В. Ф. Методы и задачи оптимального управления / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман. – М.: Наука, 1973. – 448 с.
21. Моржин О. В. Нелокальное улучшение нелинейных управляемых процессов на основе достаточных условий оптимальности / О. В. Моржин // Автоматика и телемеханика. – 2010. – № 8. – С. 24–37.
22. Моржин О. В. Нелокальное улучшение управляющих функций и параметров в нелинейных динамических системах / О. В. Моржин // Автоматика и телемеханика. – 2012. – № 11. – С. 76–95.
23. Моржин О. В. Нелокальные улучшения управлений в нелинейных дискретных задачах оптимального управления / О. В. Моржин // XII Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ–2014) : сб. тр. – М. : Изд-во ИПУ РАН, 2014. – С. 650–658. – URL: http://vspu2014.ipu.ru/prcdngs
24. Пантелеев А. В. Теория управления в примерах и задачах / А. В. Пантелеев, А. С. Бортаковский. – М. : Высш. шк., 2003. – 583 с.
25. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. – 4-е изд., стер. – М. : Наука, 1983. – 393 с.
26. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов / А. И. Пропой. – М. : Наука, 1973. – 256 с.
27. Розоноэр Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимальных систем. I — III / Л. И. Розоноэр // Автоматика и телемеханика. – 1959. – Т. 20, № 10–12. С. 1320–1334, 1441–1458, 1561–1578.
28. Срочко В. А. Итерационные методы решения задач оптимального управления / В. А. Срочко. – М. : Физматлит, 2000. – 160 с.
29. Срочко В. А. Условия оптимальности экстремальных управлений для билинейной и квадратичной задач / В. А. Срочко, В. Г. Антоник // Изв. вузов. Математика. – 2016. № 5. – C. 86-92.
30. Krotov V. F. Global methods in optimal control theory / V. F. Krotov. – New York: Marcel Dekker, 1996. – 408 p.