Заметка посвящена проблеме релаксационного (импульсно-траекторного) расширения управляемых систем с аффинной по управлению правой частью при отсутствии равномерного ограничения на L₁-норму управления. Возникающие в таких системах обобщенные траектории могут иметь неограниченную полную вариацию. Известные результаты по импульсно-траекторному расширению в данном классе управляемых систем в основном рассматривают обобщенные траектории ограниченной вариации, соответствующие импульсным воздействиям типа ограниченной борелевской меры, и не охватывают рассматриваемый случай. Цель исследования — поиск конструктивных методов построения подобных расширений в классе траекторий ограниченной p-вариации (p > 1) (в смысле определения Н. Винера) и возможностей их явного описания.

Предлагается подход к расширению управляемых систем с обобщенными траекториями ограниченной p-вариации, p > 1, на основе аналога метода разрывной замены времени. Данный подход включает пространственно-временное расширение исходной системы и переход к вспомогательной системе с непрерывными решениями ограниченной p-вариации. В статье рассмотрен случай скалярного управления, однако аналогичное пространственно-временное преобразование также применимо к управляемым системам с аффинной по векторному управлению правой частью, в том числе при отсутствии свойства инволютивности (в частности, более традиционного предположения коммутативности) векторных полей.

Для случая p ∈ [1, 2) и скалярного импульсного управления получено явное представление расширенной системы с помощью специального дискретно-непрерывного интегрального уравнения, включающего интеграл Юнга.

MSC

93C10, 93C23

DOI

https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.19.164

1. Гурман В. И. Об оптимальных процессах особого управления / В. И. Гурман // Автоматика и телемеханика. – 1965. – Т. 26, № 5. – С. 782–791.

2. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления / В. И. Гурман. – М. : Наука, 1977. – 304 с.

3. Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления и метод кратных максимумов / В. И. Гурман, В. А. Дыхта // Автоматика и телемеханика. – 1977. – № 3. – С. 51–59.

4. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах управления / В. И. Гурман. – 2-е изд. перераб. и доп. – М. : Физматлит, 1997. – 288 с.

5. Гурман В. И. Представление и реализация обобщенных решений управляемых систем с неограниченным годографом / В. И. Гурман, Ю. Л. Сачков // Автоматика и телемеханика. – 2008. – № 4. – С. 72–80.

6. Гурман В. И. Преобразования управляемых систем для исследования импульсных режимов / В. И. Гурман // Автоматика и телемеханика. – 2009. – № 4. – С. 89–97.

7. Гурман В. И. О преобразованиях вырожденных задач оптимального управления / В. И. Гурман // Автоматика и телемеханика. – 2013. – № 11. – С. 132–138.

8. Дыхта В. А. Условия минимума на множестве последовательностей в вырожденной вариационной задаче / В. А. Дыхта, Г. А. Колокольникова // Мат. заметки. – 1983. – Т. 34, № 5. – С. 735–744

9. Дыхта В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями / В. А. Дыхта, О. Н. Самсонюк. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2003. – 256 с.

10. Завалищин С. Т. Импульсные процессы: модели и приложения / С. Т. Завалищин, А. Н. Сесекин. – М. : Наука, 1991. – 256 с.

11. Колокольникова Г. А. Исследование обобщенных решений задач оптимального управления с линейными неограниченными управлениями на основе кратных преобразований / Г. А. Колокольникова // Дифференц. уравнения. – 1992. –T. 28, № 11. – С. 1919–1932.

12. Кротов В. Ф. Разрывные решения вариационных задач / В. Ф. Кротов // Изв. вузов. Математика. – 1961. – № 1. – С. 86–98.

13. Кротов В. Ф. Методы и задачи оптимального управления / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман. – М. : Наука, 1973. – 448 с.

14. Куржанский А. Б. Оптимальные системы с импульсными управлениями. Дифференциальные игры и задачи управления / А. Б. Куржанский – Свердловск : УНЦ. АН СССР, 1975. – С. 131–156.

15. Миллер Б. М. Условия оптимальности в задаче управления системой, описываемой дифференциальным уравнением с мерой / Б. М. Миллер // Автоматика и телемеханика. – 1982. – № 6. – С. 60–72.

16. Миллер Б. М. Условия оптимальности в задачах обобщенного управления I, II / Б. М. Миллер // Автоматика и телемеханика. – 1992. – № 3. – С. 362–370 № 4. – С. 505–513.

17. Миллер Б. М. Метод разрывной замены времени в задачах оптимального управления импульсными и дискретно-непрерывными системами / Б. М. Миллер // Автоматика и телемеханика. – 1993. – № 12. – С. 3–32.

18. Миллер Б. М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями / Б. М. Миллер, Е. Я. Рубинович – М.: Наука, 2005. – 430 с.

19. Миллер Б. М. Разрывные решения в задачах оптимального управления и их представление с помощью сингулярных пространственно-временных преобразований / Б. М. Миллер, Е. Я. Рубинович // Автоматика и телемеханика. –2013. – № 12. – С. 56–103.

20. Самсонюк О. Н. Инвариантность множеств относительно нелинейных импульсных управляемых систем / О. Н. Самсонюк // Автоматика и телемеханика. – 2015. – № 3. – С. 44–61.

21. Сесекин А. Н. О множествах разрывных решений нелинейных дифференциальных уравнений / А. Н. Сесекин // Изв. вузов. Математика. – 1994. – № 6. – С. 83-89.

22. Сесекин А. Н. Динамические системы с нелинейной импульсной структурой / А. Н. Сесекин // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – Екатеринбург, 2000. – Т. 6. – C. 497–510.

23. Терехин А. П. Интегральные свойства гладкости периодических функций ограниченной p-вариации / А. П. Терехин // Мат. заметки. – 1967. – Т. 2. – С. 289–300.

24. Филипова Т. Ф. Построение многозначных оценок множеств достижимости некоторых нелинейных динамических систем с импульсным управлением / Т. Ф. Филиппова // Тр. ИММ УрО РАН. – 2009. – Т. 15, № 4. – С. 262–269.

25. Чистяков В. В. К теории многозначных отображений ограниченной вариации одной вещественной переменной / В. В. Чистяков // Матем. сб. – 1998. – Т. 189, № 5. – С. 153–176.

26. Appell J. Bounded Variation and Around / J. Appell, J. Banas, N. Merentes. – De Gruyter, Boston, 2014. – 476 p.

27. Aronna M. S. On optimal control problems with impulsive commutative dynamics / M. S. Aronna, F. Rampazzo // In Proc. of the 52nd IEEE Conference on Decision and Control. – 2013. – P. 1822–1827.

28. Arutyunov A. V. On constrained impulsive control problems / A. V. Arutyunov, D. Yu. Karamzin, F. L. Pereira // J. Math. Sci.. – Vol. 165. – P. 654–688.

29. Bressan A. On differential systems with vector-valued impulsive controls / A. Bressan, F. Rampazzo // Boll. Un. Mat. Ital. B(7). – 1988. – Vol. 2. – P. 641–656.

30. Bressan A. Impulsive control systems without commutativity assumptions / A. Bressan, F. Rampazzo // Optim. Theory Appl. – 1994. – Vol. 81, N 3. – P. 435–457.

31. Chistyakov V. V. On maps of bounded p-variation with p>1 / V. V. Chistyakov, O. E. Galkin // Positivity. – 1998. – Vol. 2. – P. 19–45.

32. Daryin A. N. Dynamic programming for impulse control / A. N. Daryin, A. B. Kurzhanski // Ann. Reviews in Control. – 2008. – Vol. 32. – P. 213–227.

33. Dudley R. M. Product integrals, Young integral and p-variation / R. M. Dudley, R. Norvaisa – Springer, 1999.

34. Dudley R. M. Concrete functional calculus / R. M. Dudley, R. Norvaisa – Springer, 2011. – 671 p.

35. Freedman M. A. Operators of p-variation and the evolution representation problem / M. A. Freedman // Trans. Amer. Math. Soc. – 1983. – Vol. 279. – P. 95–112.

36. Goncharova E. Optimization of measure-driven hybrid systems / E. Goncharova, M. Staritsyn // J. Optim. Theory Appl. – 2012. – Vol. 153, N 1. – P. 139–156.

37. Guerra M. Frechet generalized trajectories and minimizers for variational problems of low coercivity / M. Guerra, A. Sarychev // Journal of Dynamical and Control Systems. – 2015. – Vol. 21, no 3. – P. 351–377.

38. Karamzin D. Yu. Necessary conditions of the minimum in impulsive control problems with vector measures / D. Yu. Karamzin // J. of Math. Sci. – 2006. – Vol. 139. – P. 7087–7150.

39. Lejay A. An introduction to rough paths / A. Lejay // Lecture Notes in Mathematics. – 2003. – Vol. 1832. – P. 1–59.

40. Lyons T. Differential equations driven by rough signals / T. Lyons // Revista Matem´atica Iberoamericana. – 1998. – P. 215–310.

41. Lyons T. System control and rough paths / T. Lyons, Z. Qian. – Oxford : Clarendon Press, 2002. – 216 p. – Oxford Mathematical Monographs.

42. Miller B. M. The generalized solutions of nonlinear optimization problems with impulse control / B. M. Miller // SIAM J. Control Optim. – 1996. – Vol. 34. – P. 1420–1440.

43. Motta M. Space-time trajectories of nonlinear systems driven by ordinary and impulsive controls / M. Motta, F. Rampazzo // Differential Integral Equations. – 1995. – Vol. 8. – P. 269–288.

44. Motta M. Dynamic programming for nonlinear systems driven by ordinary and impulsive control / M. Motta, F. Rampazzo // SIAM J. Control Optim. – 1996. – Vol. 34. – P. 199–225.

45. Pereira F. L. Necessary conditions of optimality for vector-valued impulsive control problems / F. L. Pereira, G. N. Silva // Syst. Control Lett. – 2000. – Vol. 40. – P. 205–215.

46. Porter J. E. Helly’s selection principle for function of bounded p-variation / J. E. Porter // Rocky Mountain J. Math. – 2005. – Vol. 35, N 2. – P. 675-679.

47. Silva G. N. Measure differential inclusions / G. N. Silva, R. B. Vinter // J. of Mathematical Analysis and Applications. – 1996. – Vol. 202. – P. 727–746.

48. Wiener N. The quadratic variation of a function and its Fourier coeficients / N. Wiener // J. Math. Phys. – 1924. – Vol. 3. – P. 72–94.

49. Young L. C. An inequality of the H´older type, connected with Stieltjes integration / L. C. Young // Acta Math. – 1936. – Vol. 67. – P. 251–282.