Рассматривается задача оптимального управления гибридной динамической системой достаточно общего вида. В литературе подобные системы также часто называют дискретно-непрерывными или логико-динамическими. Они возникают при математическом моделировании целого ряда технических процессов. С помощью гибридных систем можно, к примеру, описать функционирование коробки передач в автомобиле, работу автоматической системы климат-контроля, некоторые процессы с эффектом гистерезиса, динамические системы с соударениями и кулоновским трением, а также многие другие. Математической теории оптимального управления такими системами посвящено большое число статей, в частности, к настоящему времени получены необходимые и достаточные условия оптимальности, а также разработаны итерационные процедуры последовательного улучшения. Однако авторам не известно о существовании каких-либо работ, посвящённых вопросам существования оптимальных управлений. Отчасти восполнить этот пробел призвана данная статья. Напомним, что для классической задачи оптимального управления основной способ доказательства существования решения состоит в том, чтобы установить эквивалентность этой задачи некоторой задаче математического программирования, состоящей в минимизации непрерывной функции на множестве достижимости рассматриваемой управляемой системы. Тогда, в силу классической теоремы Вейерштрасса, условия компактности множества достижимости и будут условиями существования оптимального управления. В данной работе мы показываем, что для рассматриваемой в статье гибридной системы подобный подход также может быть применён. Эквивалентная задача математического программирования оказывается несколько сложнее, а доказательство компактности множества её допустимых значений требует уже знания свойств интегральной воронки управляемой системы, а не её множеств достижимости.

MSC

49J15

DOI

https://doi.org/10.26516/1997-7670.2017.19.129

1. Метод улучшения управления для иерархических моделей систем сетевой структуры / В. И. Гурман, И. В. Расина, О. В. Фесько, О. В. Усенко // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2014. – Т. 8. – С. 71–85.

2. Дмитрук А. В. Принцип максимума для задач оптимального управления с промежуточными ограничениями / А. В. Дмитрук, А. М. Каганович // Нелинейная динамика и управление : сб. ст. / под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. – М. : Физматлит, 2008. – С. 101–136.

3. Сорокин С. П. Достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина для задач управления гибридными системами / С. П. Сорокин // Сиб. журн. индустр. математики. – 2011. – Т. 14, № 1. – С. 102–113.

4. Garavello M. Hybrid necessary principle / Mauro Garavello, Benedetto Piccoli // SIAM J. Control Optim. – 2005. – Vol. 43, N 5. – P. 1867–1887.

5. Tolstonogov A. Differential inclusions in a Banach space. Transl. from the Russian. Revised and updated edition. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, revised and updated edition ed., 2000. xv + 302 p.

6. Van der Schaft A., Schumacher H. An introduction to hybrid dynamical systems. London: Springer, 2000. xi + 174 p.