В работе рассматривается нелинейное параболическое уравнение, описывающее процесс теплопроводности в случае степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры. Помимо распространения тепла в пространстве, оно моделирует также фильтрацию политропного газа в пористой среде, в связи с чем в англоязычной литературе его обычно называют «the porous medium equation». Отличительной особенностью данного уравнения является вырождение его параболического типа в случае, когда обращается в нуль искомая функция, вследствие чего уравнение приобретает свойства, обычно характерные для уравнений первого порядка. В частности, для него в некоторых случаях удается обосновать теоремы существования и единственности решений типа тепловой волны (волны фильтрации). В настоящей статье доказана теорема существования и единственности решения задачи о движении тепловой волны с заданным фронтом в случае двух независимых переменных. При этом, поскольку фронт имеет вид замкнутой плоской кривой, то производится переход в полярную систему координат. Решение строится в виде ряда, для вычисления коэффициентов которого предложена конструктивная рекуррентная процедура. Сходимость ряда доказывается при помощи метода мажорант. Разработан и реализован в виде программы для ЭВМ вычислительный алгоритм на основе метода граничных элементов для решения изучаемой задачи. Рассмотрены тестовые примеры, причем расчеты, выполненные с помощью созданной авторами программы, сравнивались с отрезками построенных рядов. Установлено хорошее соответствие полученных результатов.

MSC

35K65

1. Баренблатт Г. И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г. И. Баренблатт, В. М. Ентов, В. М. Рыжик. – М. : Недра, 1984. – 212 с.

2. Баутин С. П. Аналитическая тепловая волна / С. П. Баутин. – М. : Физматлит, 2003. – 88 c.

3. Казаков А. Л. О построении тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности в симметричном случае / А. Л. Казаков, П. А. Кузнецов, А. А. Лемперт // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2015. – Т. 11. – С. 39-53.

4. Казаков А. Л. Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах / А. Л. Казаков, П. А. Кузнецов, Л. Ф. Спевак // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. – 2014. – Т. 20, № 1. – С. 119-129.

5. Казаков А. Л. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачи нелинейной фильтрации с вырождением / А. Л. Казаков, А. А. Лемперт // Вычисл. технологии. – 2012. – Т. 17, № 1. – С. 57-68.

6. Казаков А. Л. Методы граничных элементов и степенных рядов в одномерных задачах нелинейной фильтрации / А. Л. Казаков, Л. Ф. Спевак // Изв. Иркут. гос. Ун-та. Сер. Математика. – 2012. – Т. 5, № 2. – С. 2–17.

7. Режимы с обострением в задачах для нелинейных параболических уравнений / А. А. Самарский, В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. – М. : Наука, 1987. – 480 с.

8. Сидоров А. Ф. Избранные труды: Математика. Механика / А. Ф. Сидоров. – М. : Физматлит, 2001. – 576 c.

9. Brebbia C. A. Boundary Element Techniques / C. A. Brebbia, J. F. C. Telles, L. C. Wrobel. – Berlin : Neidel-berg N. Y. Tokyo : Springer-Verlag, 1984. – 464 р.

10. Fedotov V. P. One approach to the derivation of exact integration formulae in the boundary element method / V. P. Fedotov, L. F. Spevak // Engineering Analysis with Boundary Elements. – 2008. – Vol. 32, N 10. – P. 883–888.

11. Franke R. Scattered data interpolation: tests of some methods / R. Franke // Mathematics of Computation. – 1982. – Vol. 38, N 157. – P. 181–200.

12. Hardy R. L. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces / R. L. Hardy // Journal of Geophysical Research. – 1971. – Vol. 76, N 8. – P. 1905–1915.

13. Kazakov A. L. Numerical and analytical studies of a nonlinear parabolic equation with boundary conditions of a special form / A. L. Kazakov, L. F. Spevak // Applied Mathematical Modelling. – 2013. – Vol. 37, N 10-11. – P. 6918–6928.

14. Kazakov A. L. An analytical and numerical study of a nonlinear parabolic equation with degeneration for the cases of circular and spherical symmetry / A. L. Kazakov, L. F. Spevak // Applied Mathematical Modelling. – 2016. – Vol. 40, N 2. – P. 1333– 1343.

15. Nardini D. A New Approach to Free Vibration Analysis using Boundary Elements / D. Nardini, C. A. Brebbia // Boundary Element Methods in Engineering / ed. Brebbia C. A. – Springer-Verlag : Berlin, 1982.

16. Vazquez J. L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory / J. L. Vazquez. – Oxford : Clarendon Press, 2007. – 648 р.