В статье рассмотрен подход к построению методов группового выбора и ранжирования объектов в порядке предпочтения на основе минимизации отклонения матрицы, характеризующей объекты (оценочной матрицы), от некоторой одноранговой матрицы, все столбцы которой одинаковы (матрицы непротиворечивого ранжирования). Для оценки отклонения предложено использовать матричные нормы: поэлементная норма, p − q норма, норма Шаттена на разнице оценочной и одноранговой матриц, разнице их ковариационных матриц, а также на других формах. Доказано, что ранжирование, полученное в результате минимизации разницы оценочной матрицы из рангов и матрицы непротиворечивого ранжирования по матричной норме Фробениуса, совпадает с ранжированием, полученным по оценочной матрице из рангов по правилу Борда. Рассмотрена связь матрицы непротиворечивого ранжирования, полученной по матричной норме Фробениуса, с одноранговой матрицей в сингулярном разложении оценочной матрицы, а также связанных с ними результатов метода ранжирования по влиянию. Для поэлементной матричной нормы доказано, что при достаточно большом показателе степени матричной нормы множество ранжирований, доставляющих минимум этой матричной нормы от разности оценочной матрицы и матрицы непротиворечивого ранжирования, становится устойчивым – не меняется при последующем увеличении степени (результаты такого ранжирования названы сбалансированным ранжированием). На примерах показано, что сбалансированное ранжирование доставляет минимум потерь при нелинейном росте штрафов от несовпадения ранжирования с реализованным в действительности ранжированием.

MSC

62H30

1. Артамонов Ю. Н. Модель оценки результативности научных и образовательных организаций на основе сингулярного разложения матрицы / Ю. Н. Артамонов, И. О. Каманин // Информ. и телекоммуникац. технологии. – 2013. – № 17. – С. 3–9.

2. Артамонов Ю. Н. Метод оценки результативности научно-технических проектов целевых программ // Ю. Н. Артамонов // Изв. Ин-та инженер. физики. – 2012. – Т. 1, № 23. – С. 78–81.

3. Емелин Н. М. Сотрудничество российских вузов и предприятий оборонно-промышленного комплекса и оценка его эффективности / Н. М. Емелин, Ю. Н. Артамонов // Изв. Ин-та инженер. физики. – 2015. – Т. 2, № 36. – С. 92–95.

4. Миркин Б. Г. Методы многокритериальной стратификации и их экспериментальное сравнение / Б. Г. Миркин, М. А. Орлов. – М. : Издат. дом Высш. шк. экономики, 2013. – C. 8–11.

5. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели / Э. Мулен. – М. : Мир, 1991. – 464 c.

6. Мушик Э. Методы принятия технических решений / Э. Мушик, П. Мюллер. – М. : Мир, 1990. – 208 с.

7. Научный форум dxdy [Электронный ресурс]. – URL: http://dxdy.ru/topic111132.html.

8. Национальный открытый университет «ИНТУИТ» [Электронный ресурс]. – URL: http://www.diofant.ru/problem/383/.

9. Филатов А. Ю. Неоднородность и ее учет при принятии экономических решений / А. Ю. Филатов. – Иркутск : Изд-во ИГУ, 2013. – 107 с.

10. Хорн Р. Матричный анализ/ Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М. : Мир, 1989. – 656 c.

11. Eckart C. The approximation of one matrix by another of lower rank / C. Eckart, G. Young // Psychometrika. – 1936. – Vol. 1. – P. 211–218.

12. Handbook on Constructing Composite Indicators // Methodology and user guide. – OECD : European Commission, 2008. – P. 83–89.