В статье изучается задача построения точных решений для нелинейной системы двух уравнений эллиптического типа. Нелинейные системы уравнений эллиптического типа применяются в качестве математических моделей в теории тепло- и массопереноса реагирующих систем, в теории химических реакторов, теории горения и математической биологии. В одномерном случае к этому же классу уравнений можно отнести описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями модель магнитной изоляции вакуумного диода. Нахождение точных решений для нелинейных эллиптических систем играет важную роль как для развития теории и установления свойств всего множества решений, так и для приложений. Точные решения можно использовать для тестирования и верификации численных методов решения краевых задач. В данной статье рассматривается система двух уравнений эллиптического типа с одной нелинейностью, зависящей от разности квадратов искомых функций. Найдены условия на нелинейность, при которых система редуцируется к одному уравнению. Показано, что в этом случае система сводится к полулинейному эллиптическому уравнению специального вида, лишь одним слагаемым отличающимся от уравнения Гельмгольца. Отдельно изучен случай системы, не сводящейся ни при какой нелинейности к одному уравнению. Для этого случая выведено интегро-дифференциальное уравнение, которому должны удовлетворять радиально-симметричные решения. Указаны случаи, когда это уравнение сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению и интегрируется в явном виде. Приведен ряд примеров построения точных решений, задаваемых элементарными функциями, для систем с двумерным и трехмерным оператором Лапласа.

1. Полянин А. Д. Нелинейные системы двух уравнений эллиптического типа [Электронный ресурс] / А. Д. Полянин. – URL:http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/syspde/spde-toc3.htm.

2. Ben Abdallah N. Mathematical model of magnetic insulation / N. Ben Abdallah,P. Degond, F. Mehats // Physics of plasmas. – 1998. – Vol. 5. – P. 1522–1534.

3. Косов А. А. Интегрируемость модели магнитной изоляции и ее точныерадиально-симметричные решения / А. А. Косов, Э. И. Семенов, А. В. Синицын // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика. – 2013. – Т. 6, № 1. –С. 45–56.

4. Косов А. А. О построении решений систем нелинейных уравнений, применяемых для моделирования магнитной изоляции / А. А. Косов, Э. И. Семенов, А.В. Синицын // Сиб. журн. индустр. математики. – 2015. – Т. XVIII, № 1(61). –С. 69–83.

5. Семенов Э. И. Математическая модель магнитной изоляции вакуумного диодаи ее точные решения / Э. И. Семенов, А. В. Синицын // Изв. Иркут. гос. ун-та.Сер. Математика. – 2010. – № 1. – C. 78–91.

6. Косов А. А. Многомерные точные решения одного класса нелинейных эллиптических систем / А. А. Косов, Э. И. Семенов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер.Математика. – 2014. – Т. 9, № 3. – С. 49–60.

7. Семенов Э. И. О многомерных точных решениях одной нелинейной системы двух уравнений эллиптического типа / Э. И. Семенов, А. А. Косов //Дифференц. уравнения. – 2015. – Т. 51, № 2. – С. 229–239.

8. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/syspde/spde3108.pdf

9. Canino A. Symmetry of solutions of some semilinear elliptic equations with singularnonlinearities / A. Canino, M. Grandinetti, B. Sciunzi // Journal of DifferentialEquations. – 2013. – Vol. 255. – P. 4437–4447.