Список выпусков > Серия «Математика». 2017. Том 20
Скелетные разложения линейных операторов в теории нерегулярных систем с частными производными
Рассматриваются линейные системы уравнений с частными производными. В главной части систем стоит линейный необратимый оператор, допускающий скелетное разложение. Входящие в систему дифференциальные операторы имеют достаточно гладкие коэффициенты. Области определения дифференциальных операторов в конкретных ситуациях, рассмотренных в работе, состоят из линейных многообразий достаточно гладких функций со значениями в банаховом пространстве, подчиненных дополнительным граничным условиям. Вводится понятие скелетной цепочки линейного оператора, стоящего в главной части системы. Предполагается, что этот оператор порождает скелетную цепочку конечной длины. В этом случае решение исходной системы сводится к регулярной расщепленной системе уравнений, разрешенных относительно старших дифференциальных выражений с определенными начально-краевыми условиями. Указаны возможные обобщения предложенного подхода и рассмотрено его приложение к постановке граничных задач в нелинейном случае. Результаты развивают теорию дифференциальных уравнений с вырождениями, заложенную в монографиях N. A. Sidorov [General regularization questions in problems of branching theory. (1982 MR 87a:58036)] N. A. Sidorov, B. V. Loginov, A. V. Sinitsyn and M. V. Falaleev [Lyapunov – Schmidt methods in nonlinear analysis and applications (Math. Appl. 550, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht) (2002 Zbl 1027.47001)].
1. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин // М.: Наука. 1969. – 528 с.
2. Гантмахер Ф.Р. Теория мартриц / Ф.Р. Гантмахер // М.: Наука, 1986.
3. Корпусов М.О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях / М.О. Корпусов // М.: Либроком. 2010. 240 с.
4. Логинов Б. В. Дифференциальные уравнения с вырожденным зависящим от неизвестного оператором при производной / Б. В. Логинов,Ю. Б. Русак, Л. Р. Ким-Тян // Труды Седьмой Международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям. Часть 2, СМФН, 59. – РУДН, М., 2016. – С. 119-147.
5. Петровский И. Г. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. Избранные труды. / И.Г. Петровский // М: Наука, 1986, 499 с.
6. Соболев С. Л. Задача Коши для частного случая систем не принадлежащих типу Ковалевской / C. Л. Соболев // ДАН СССР, 82. – 1952. – С. 205–208.
7. Свешников А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корусов, Ю.Д. Плетнер // М: Физматлит, 2007, 734 с.
8. Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп с ядрами / Г.А. Свиридюк // Успехи мат. наук, 49:4. – 1994. – С. 47–74.
9. Сидоров Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / Н.А. Сидоров // Иркутск: Изд-во ИГУ, 1982.
10. Сидоров Н.А. Дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператром при старшем дифференциальном выражении / Н.А. Сидоров, Е.Б. Благодатская // Препринт N. 1, Иркутск: СО АН СССР, Иркутский вычислительный центр, 1986. – 34 c.
11. Сидоров Н.А. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части / Н.А. Сидоров, О.А. Романова, Е.Б. Благодатская // Препринт N. 3, Иркутск: СО АН СССР, Иркутский вычислительный центр, 1992. – 29 c.
12. Сидоров Н.А. Дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором / Н.А. Сидоров, Е.Б. Благодатская // ДАН СССР, 319:5. – 1991. – С. 1087–1090.
13. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский // Учеб. пособие. б-е изд., испр. и доп. М.: Изд-во МГУ, 1999.
14. Sidorov N. Skeleton decomposition of linear operators in the theory of degenerate differential equations / N. Sidorov, D. Sidorov and Y. Li // arXiv, arXiv:1511.08976. – 2015.
15. Sidorov D.N. Solution of irregular systems of partial differential equations using skeleton decomposition of linear operators / D. N. Sidorov, N. A. Sidorov // Vestn. YuUrGU. Ser. Matem. modelirovanie i programmirovanie, 10:2. – 2017. – P. 63–73.
16. Sviridyuk G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov // Inverse and Ill-Posed Problems Series, De Gruyter, 2003, 224 p.
17. Sidorov D. Integral Dynamical Models: Singularities, Signals and Control / D. Sidorov Ed. by L. O. Chua. - Singapore, London: World Scientific Publ., 2015. - Vol. 87 of World Scientific Series on Nonlinear Science, Series A. - 258 p.18. Sidorov N. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. Mathematics and Its Applications // Springer Netherlands, 2013.